3.4　注解与习题

到目前为止，C语言的核心内容已经全部讲完。理论上，运用前3章的知识足以编写大部分算法竞赛程序了。

3.4.1　进位制与整数表示

用ASCII编码表示字符。下面来探索一下字符在C语言中的表示。从正文中可知，有些特殊的字符需要转义才能表达，例如“\n”表示换行，“\\”表示反斜杠，“\"”表示引号，“\0”表示空字符，那还有哪些转义符呢？如果在网上搜索一下，或者翻阅任何一本C语言参考书，就会发现转义字符表中有如下说法。

提示3-21：字符还可以直接用ASCII码表示。如果用八进制，应该写成：“\o”，“\oo”或“\ooo”（o为一个八进制数字）；如果用十六进制，应该写成“\xh”（h为十六进制数字串）。

什么是八进制和十六进制呢？我们平时使用的是“逢十进一”的进位制系统，称为十进制（Decimal System）。而在计算机内部，所有事物都是用“逢二进一”的二进制（Binary System）来表示。从表3-1很容易看出二者之间的关系。

表3-1　十进制和二进制的转换关系

类似地，可以定义八进制和十六进制（注意，在十六进制中，用字符A～F表示十进制中的10～15）。如果操作系统是Windows，打开“计算器”后，先切换成“科学型”，然后输入一个整数，例如123，再单击“二进制”按钮，就可以看到其二进制值1111011、八进制值173和十六进制值7B⁽³⁾。而语句“printf("%d %o %x\n", a)”将把整数a分别按照十进制、八进制和十六进制输出。

进制转换与移位运算符。如何把二进制转换为十进制？类似于123=((1*10)+2)*10+3，二进制转换为十进制也可以这样一次添加一位，每次乘以2：101₂=((1*2+0)*2+1=5。在C语言中，“乘以2”也可以写成“<<1”，意思是“左移一位”。类似地，左移4位就是乘以2⁴。

在二进制中，8位最大整数就是8个1，即2⁸-1，用C语言写出来就是(1<<8)-1。注意括号是必需的，因为“<<”运算符的优先级没有减法高。

补码表示法。计算机中的二进制是没有符号的。尽管123的二进制值是1111011，-123在计算机内并不表示为-1111011——这个“负号”也需要用二进制位来表示。

“正号和符号”只有两种情况，因此用一个二进制位就可以了。容易想到一个表示“带符号32位整数”的方法：用最高位表示符号（0：正数；1：负数），剩下31位表示数的绝对值。可惜，这并不是机器内部真正的实现方法。在笔者的机器上，语句“printf("%u\n",-1)”的输出是4294967295⁽⁴⁾。把-1换成-2、-3、-4……后，很容易总结出一个规律：-n的内部表示是2³²-n。这就是著名的“补码表示法”（Complement Representation）。

提示3-22：在多数计算机内部，整数采用的是补码表示法。

为什么计算机要用这样一个奇怪的表示方法呢？前面提到的“符号位+绝对值”的方法哪里不好了？答案是：运算不方便。试想，要计算1 + (-1)的值（为了简单起见，假设两个数都是带符号8位整数）。如果用“符号位+绝对值”法，将要计算00000001+10000001，而答案应该是00000000。似乎想不到什么简单的方法进行这个“加法”。但如果采用补码表示，计算的是00000001+11111111，只需要直接相加，并丢掉最高位的进位即可。“符号位+绝对值”还有一个好玩的bug：存在两种不同的0：一个是00000000（正0），一个是10000000（负0）。这个问题在补码表示法中不会出现（想一想，为什么）。

学到这里，你能解释“int类型的最小、最大值”了吗？提示：在通常情况下，int是32位的。

3.4.2　思考题

题目1（必要的存储量）：数组可以用来保存很多数据，但在一些情况下，并不需要把数据保存下来。下面哪些题目可以不借助数组，哪些必须借助数组？请编程实现。假设输入只能读一遍。

• 输入一些数，统计个数。
• 输入一些数，求最大值、最小值和平均数。
• 输入一些数，哪两个数最接近。
• 输入一些数，求第二大的值。
• 输入一些数，求它们的方差。
• 输入一些数，统计不超过平均数的个数。

题目2（统计字符1的个数）：下面的程序意图在于统计字符串中字符1的个数，可惜有瑕疵：

#include<stdio.h>
#define maxn 10000000 + 10
int main() {
  char s[maxn];
  scanf("%s", s);
  int tot = 0;
  for(int i = 0; i < strlen(s); i++)
    if(s[i] == 1) tot++;
  printf("%d\n", tot);
}

该程序至少有3个问题，其中一个导致程序无法运行，另一个导致结果不正确，还有一个导致效率低下。你能找到它们并改正吗？

3.4.3　黑盒测试和在线评测系统

黑盒测试。算法竞赛一般采取黑盒测试：事先准备好一些测试用例，然后用它们测试选手程序，根据运行结果评分。除了找不到程序（如程序名没有按照比赛规定取，或是放错位置）、编译错等连程序都没能运行的错误之外，一些典型的错误类型如下：

• 答案错（Wrong Answer，WA）。
• 输出格式错（Presentation Error，PE）。
• 超时（Time Limit Exceeded，TLE）。
• 运行错（Runtime Error，RE）。

在一些比较严格的比赛中，输出格式错被看成是答案错，而在另外一些比赛中，则会把二者区分开。在运行时，除了程序自身异常退出（例如，除0、栈溢出、非法访问内存、断言为假、main函数返回非0值）外，还可能是因为超过了评测系统的资源约束（如内存限制、最大输出限制）而被强制中止执行。有的评测系统会把这些情况和一般的运行错误区分开，但在多数情况下会统一归到“运行错”中。

需要注意的是，超时不一定是因为程序效率太低，也可能是其他原因造成的。例如，比赛规定程序应从文件读入数据，但所写程序却正在等待键盘输入。其他原因包括：特殊数据导致程序进入死循环、程序实际上已经崩溃却没异常退出等。

如果上述错误都没有，那么恭喜你，你的程序通过了测试。在ACM/ICPC中，这意味着你的程序被裁判接受（accepted，AC），而在分测试点的比赛中，这意味着你拿到了该测试点的分数。

需要注意的是，一些比赛的测试点可以给出“部分分”——如答案正确但不够优，或者题目中有两个任务，选手只成功完成了一个任务等。不管怎样，得分的前提是不超时、没有运行错。只有这样，程序输出才会参与评分。

在线评测系统（Online Judge，OJ）为平时练习和网上竞赛提供了一个很好的平台。事实上，本书中的练习大都通过OJ给出。

首先，要向读者介绍的是历史最悠久、最著名的OJ：西班牙Valladolid大学的UVaOJ，网址为http://uva.onlinejudge.org/⁽⁵⁾。除了收录了早期的ACM/ICPC区域比赛题目之外，这里还经常邀请世界顶尖的命题者共同组织网上竞赛，吸引了大量来自世界各地的高手同场竞技。

目前，UVaOJ网站的题库已经包含了一个特殊的分卷（Volume）——AOAPC II，把本书的配套习题按照易于查找和提交的方式集中在一起，并将逐步提供题目的中文翻译和算法提示。根据读者的反馈，网上题库可能在本书的基础上增加一些有价值的题目，并移除一些不太合适的题目，因此建议读者在做题时直接参考UVaOJ的AOAPC分卷。3.4.2节的题目中已经给出了UVa题目编号。例如，UVa272就代表UVa OJ中编号为272的题目。

其他著名的OJ包括国内的ZOJ（浙江大学）, POJ（北京大学），HDOJ（电子科技大学）、俄罗斯的SGU、Timus、波兰的SPOJ等。

3.4.4　例题一览与习题

本章的5道例题全部是竞赛题目，在UVa上可以提交，如表3-2所示。

表3-2　例题一览

从本章开始，习题全部通过UVaOJ给出。由于样例输入输出很占篇幅，这里通过文字的方式给出例子，详细的样例输入输出请读者参考原题。在下面的习题中，前一半的题目几乎只需要“按照题目说的做”，但后面的题目需要一些思考甚至灵感。

为了保证学习效果，请至少独立完成8道习题。需要特别注意的是，由于本书前4章中的C语言程序需要用C99编译器，而UVa中的“ANSI C”是指C89编译器，请在提交时选择C++语言。本书前4章中介绍的C语言全部和C++兼容，所以源码可以不加修改地用C++编译器编译通过。

习题3-1　得分（Score, ACM/ICPC Seoul 2005, UVa1585）

给出一个由O和X组成的串（长度为1～80），统计得分。每个O的得分为目前连续出现的O的个数，X的得分为0。例如，OOXXOXXOOO的得分为1+2+0+0+1+0+0+1+2+3。

习题3-2　分子量（Molar Mass, ACM/ICPC Seoul 2007, UVa1586）

给出一种物质的分子式（不带括号），求分子量。本题中的分子式只包含4种原子，分别为C, H, O, N，原子量分别为12.01, 1.008, 16.00, 14.01（单位：g/mol）。例如，C6H5OH的分子量为94.108g/mol。

习题3-3　数数字（Digit Counting , ACM/ICPC Danang 2007, UVa1225）

把前n（n≤10000）个整数顺次写在一起：123456789101112…数一数0～9各出现多少次（输出10个整数，分别是0，1，…，9出现的次数）。

习题3-4　周期串（Periodic Strings, UVa455）

如果一个字符串可以由某个长度为k的字符串重复多次得到，则称该串以k为周期。例如，abcabcabcabc以3为周期（注意，它也以6和12为周期）。

输入一个长度不超过80的字符串，输出其最小周期。

习题3-5　谜题（Puzzle, ACM/ICPC World Finals 1993, UVa227）

有一个5*5的网格，其中恰好有一个格子是空的，其他格子各有一个字母。一共有4种指令：A, B, L, R，分别表示把空格上、下、左、右的相邻字母移到空格中。输入初始网格和指令序列（以数字0结束），输出指令执行完毕后的网格。如果有非法指令，应输出“This puzzle has no final configuration.”，例如，图3-5中执行ARRBBL0后，效果如图3-6所示。

图3-5　执行ARRBBL0前	图3-6　执行ARRBBL0后

习题3-6　纵横字谜的答案（Crossword Answers, ACM/ICPC World Finals 1994, UVa232）

输入一个r行c列（1≤r，c≤10）的网格，黑格用“*”表示，每个白格都填有一个字母。如果一个白格的左边相邻位置或者上边相邻位置没有白格（可能是黑格，也可能出了网格边界），则称这个白格是一个起始格。

首先把所有起始格按照从上到下、从左到右的顺序编号为1, 2, 3,…，如图3-7所示。

图3-7　r行c列网格

接下来要找出所有横向单词（Across）。这些单词必须从一个起始格开始，向右延伸到一个黑格的左边或者整个网格的最右列。最后找出所有竖向单词（Down）。这些单词必须从一个起始格开始，向下延伸到一个黑格的上边或者整个网格的最下行。输入输出格式和样例请参考原题。

习题3-7　DNA序列（DNA Consensus String, ACM/ICPC Seoul 2006, UVa1368）

输入m个长度均为n的DNA序列，求一个DNA序列，到所有序列的总Hamming距离尽量小。两个等长字符串的Hamming距离等于字符不同的位置个数，例如，ACGT和GCGA的Hamming距离为2（左数第1, 4个字符不同）。

输入整数m和n（4≤m≤50, 4≤n≤1000），以及m个长度为n的DNA序列（只包含字母A，C，G，T），输出到m个序列的Hamming距离和最小的DNA序列和对应的距离。如有多解，要求为字典序最小的解。例如，对于下面5个DNA序列，最优解为TAAGATAC。

TATGATAC

TAAGCTAC

AAAGATCC

TGAGATAC

TAAGATGT

习题3-8　循环小数（Repeating Decimals, ACM/ICPC World Finals 1990, UVa202）

输入整数a和b（0≤a≤3000，1≤b≤3000），输出a/b的循环小数表示以及循环节长度。例如a=5，b=43，小数表示为0.(116279069767441860465)，循环节长度为21。

习题3-9　子序列（All in All, UVa 10340）

输入两个字符串s和t，判断是否可以从t中删除0个或多个字符（其他字符顺序不变），得到字符串s。例如，abcde可以得到bce，但无法得到dc。

习题3-10　盒子（Box, ACM/ICPC NEERC 2004, UVa1587）

给定6个矩形的长和宽w_i和h_i（1≤w_i，h_i≤1000），判断它们能否构成长方体的6个面。

习题3-11　换低挡装置（Kickdown, ACM/ICPC NEERC 2006, UVa1588）

给出两个长度分别为n₁，n₂（n₁，n₂≤100）且每列高度只为1或2的长条。需要将它们放入一个高度为3的容器（如图3-8所示），问能够容纳它们的最短容器长度。

图3-8　高度为3的容器

习题3-12　浮点数（Floating-Point Numbers, UVa11809）

计算机常用阶码-尾数的方法保存浮点数。如图3-9所示，如果阶码有6位，尾数有8位，可以表达的最大浮点数为0.111111111₂×2¹¹¹¹¹¹₂。注意小数点后第一位必须为1，所以一共有9位小数。

图3-9　阶码-尾数保存浮点数

这个数换算成十进制之后就是0.998046875*2⁶³=9.205357638345294*10¹⁸。你的任务是根据这个最大浮点数，求出阶码的位数E和尾数的位数M。输入格式为AeB，表示最大浮点数为A*10_B。0<A<10，并且恰好包含15位有效数字。输入结束标志为0e0。对于每组数据，输出M和E。输入保证有唯一解，且0≤M≤9，1≤E≤30。在本题中，M+E+2不必为8的整数倍。

3.4.5　小结

本节介绍的语法和库函数都是很直观的，但是书中的程序理解起来比第2章复杂了很多，原因在于变量突然多了很多。每当用到a[i]或者s[i]这样的元素时，应该问自己：“i等于多少？它有什么实际含义吗？”作为数组下标，i经常代表“当前考虑的位置”，或者与另一个下标j一起表示“当前考虑的子串的起点和终点”。

数组和字符串往往意味着大数据量，而处理大数据量时经常会遇到“访问非法内存”的错误。在语法上，C语言并不禁止程序访问非法内存，但后果难料。这在理论上可以通过在访问数组前检查下标是否合法来缓解，但程序会比较累赘；另一种技巧是适当把数组空间定义得较大，特别是不清楚数组应该开多大时。只要内存够用，开大一点没关系。顺便说一句，数组的大小可以用sizeof在编译时获得（它不是一个函数），它经常被用在memset、memcpy等函数中。有的函数并没有做大小检查，因而存在缓冲区溢出漏洞。本章中只讲了gets，但其实strcpy也有类似问题——如果源字符串并不是以“\0”结尾的，复制工作将可能覆盖到缓冲区之外的内存。这也提醒我们：如果按照自己的方式处理字符串，千万要保证它以“\0”结尾。

在数组和字符串处理程序中，下标的计算是极为重要的。为了方便，很多人喜欢用“++”等可以修改变量（有副作用）的运算符，但千万注意保持程序的可读性。一个保守的做法是如果使用这种运算符，被影响的变量在整个表达式中最多出现一次（例如，i= i++就是不允许的）。

理解字符编码对于正确地使用字符串是至关重要的。算法竞赛中涉及的字符一般是ASCII表中的可打印字符。对于中文的GBK编码，简单的实验将得出这样的结论：如果char值为正，则是西文字符；如果为负，则是汉字的前一半（这时需要再读一个char）。这个结论并不是普遍成立的（在某些环境下，char类型是非负的），但在大多数情况下，这样做是可行的。关于字符，另一个有意思的知识是转义序列——几乎所有编程语言都定义了自己的转义序列，但大都和C语言类似。

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(1) 本章最后会介绍UVaXXX的含义。

(2) 本题是《算法竞赛入门经典》第1版中的一道习题。在第2版写作之时，笔者在网上搜到了很多网友写的本题的题解，不少博主表示本题比较麻烦或者代码冗长，容易写错，故而将此题补充到第2版的例题当中。

(3) 遗憾的是，Linux下的GUI计算器xcalc无法进行进制转换。不过很多系统预装了bc程序，可以使用“echo 'obase=2; ibase=10; 123' | bc”把十进制123转换成二进制。

(4) 请记住这个整数，它等于2³²-1。

(5) 目前的UVaOJ网站与IE浏览器兼容性不好，推荐使用Firefox浏览器。