4.5　注解与习题

到目前为止，本书要介绍的C语言知识已经全部讲完了（第5章将介绍C++）。本章涉及了整个C语言中最难理解的两项内容：指针和递归。

4.5.1　头文件、副作用及其他

还记得第1章中给出的程序框架吗？是时候搞清楚所有细节了。读者现在已经知道main函数也是一个普通的函数（甚至可以递归调用），其返回值将告之操作系统，在算法竞赛中应当总是等于0，唯一的谜团就是#include<stdio.h>了。

这是一个头文件。什么是头文件呢？实践者的理解方式就是——不加这一行时会出现什么错误，反过来就说明了这一行的作用。不加这一行的编译警告是：

warning: incompatible implicit declaration of built-in function 'printf' [enabled by default]

也就是说，printf函数的“隐式定义”出了问题，这个头文件和printf有关。还记得第一次介绍math.h是怎么讲的吗？如果要使用数学相关的函数，需要包含这个头文件。换句话说，头文件的作用就是：包含了一些函数，供主程序使用(11)。表4-1中列出了一些常用函数和对应的头文件。

表4-1　常用函数及头文件

在编写实用软件时，往往需要编写自己的头文件，但在大部分算法竞赛中，只是编写单个程序文件。在本书中，所有题目都由单个程序文件求解。

下面来看一个有意思的问题：是否可以编写一个函数f()，使得依次执行int a = f()和 int b = f()以后a和b的值不同？使用全局变量，这个问题不难解决：


#include<stdio.h>
int g = 0;
int f() { g++; return g; } //修改全局变量的函数

int main() {
  int a = f();
  int b = f();
  printf("%d %d\n", a, b);
  return 0;
}

不难写出一个更有意思的程序：写3个函数f()、g()和h()，使得“int a = (f()+g())+h()”和“int b=f()+(g()+h())”后，a和b的值不同。

加法明明满足结合律，居然有可能“(f()+g())+h()”不等于“f()+(g()+h())”！这个例子说明：C语言的函数并不都像数学函数那样“规矩”。或者说得学术一点：C语言的函数可以有副作用，而不像数学函数那样“纯”。本书无意深入介绍函数式编程，但时刻警惕并最小化“副作用”是一个良好的编程习惯。正因为如此，前面曾多次强调：全局变量要少用。

再来看一个小问题：函数可以返回指针吗？例如这样：


int* get_pointer() {
  int a = 3;
  return &a;
}

这个程序可以编译通过，不过有一个警告：

warning: function returns address of local variable [enabled by default]

意思是函数返回了一个局部变量的地址。为什么不能返回局部变量的地址呢？前面说过，局部变量是在栈中，函数执行完毕后，局部变量就失效了。严格地讲，指针里保存的地址仍然存在，但不再属于那个局部变量了。这时如果修改那个指针指向的内容，程序有可能会崩溃，也可能悄悄地修改了另外一个变量的值，使程序输出一个莫名其妙的结果。

那推荐的写法是怎样的？这取决于你想做什么。如果只是想得到一个指向内容为3的指针，可以把这个指针作为参数，然后在函数里修改它；如果坚持返回一个“新”的指针，可以使用malloc函数进行动态内存分配。笔者并不准备在这里叙述详细做法，因为在接下来的章节中会对动态内存分配进行深入讨论。在学习到那些知识之前，请尽量不要编写返回指针的函数。

最后一个话题是关于浮点误差的。例如：


#include<stdio.h>

int main() {
  double f;
  for(f = 2; f > 1; f -= 1e-6);
  printf("%.7f\n", f);
  printf("%.7f\n", f / 4);
  printf("%.1f\n", f / 4);
  return 0;
}

在笔者的机器上，输出如下：

0.9999990

0.2499998

0.2

换句话说，在不断减1e-6的过程中出现了误差，使得循环终止时f并不等于1，而是比1小一点。在除以4保留1位小数时成了0.2。如果不出现误差，正确答案应该是0.25四舍五入保留一位小数，即0.3。一道好的竞赛题目应避免这种情况出现(12)，但作为竞赛选手来说，有一种方法可以缓解这种情况：加上一个EPS以后再输出。这里的EPS通常取一个比最低精度还要小几个数量级的小实数。例如，要求保留3位小数时取EPS为1e-6。这只是个权宜之计，甚至有可能起到“反作用”（如正确答案真的是0.499999），但在实践中很好用（毕竟正确答案是0.499999的情况比0.5要少很多）。

4.5.2　例题一览和习题

本章共有6道例题，如表4-2所示。除了最后两道题目比较复杂之外，读者应熟练掌握前4道题目的程序写法。当然，为了巩固基础，让后面的学习更加轻松，笔者强烈建议大家独立实现所有6道题目。

表4-2　例题一览

 

  类别     题号     题目名称（英文）     备注  
  例题4-1     UVa1339     Ancient Cipher     排序  
  例题4-2     UVa489     Hangman Judge     自顶向下逐步求精法  
  例题4-3     UVa133     The Dole Queue     子过程（函数）设计  
  例题4-4     UVa213     Message Decoding     二进制；输入技巧；调试技巧  
  例题4-5     UVa512     Spreadsheet Tracking     模拟；一题多解  
  例题4-6     UVa12412     A Typical Homework （a.k.a Shi Xiong Bang Bang Mang）     综合练习  

下面是一些习题。这些题目的综合性较强，部分题目还涉及一些专门知识（如中国象棋、莫尔斯电码、RAID），理解起来也需要一定时间。另外一些题目需要一些思考，否则无从入手编写程序。由于这些题目的挑战性，在继续阅读之前只需完成其中的3道题目。如果想达到更好的效果，最好是完成3道或更多的题目。

习题4-1　象棋（Xiangqi, ACM/ICPC Fuzhou 2011, UVa1589）

考虑一个象棋残局，其中红方有n（2≤n≤7）个棋子，黑方只有一个将。红方除了有一个帅（G）之外还有3种可能的棋子：车（R），马（H），炮（C），并且需要考虑“蹩马腿”（如图4-4所示）与将和帅不能照面（将、帅如果同在一条直线上，中间又不隔着任何棋子的情况下，走子的一方获胜）的规则。

输入所有棋子的位置，保证局面合法并且红方已经将军。你的任务是判断红方是否已经把黑方将死。关于中国象棋的相关规则请参见原题。

习题4-2　正方形（Squares, ACM/ICPC World Finals 1990, UVa201）

有n行n列（2≤n≤9）的小黑点，还有m条线段连接其中的一些黑点。统计这些线段连成了多少个正方形（每种边长分别统计）。

行从上到下编号为1～n，列从左到右编号为1～n。边用H i j和V i j表示，分别代表边(i,j)-(i,j+1)和(i,j)-(i+1,j)。如图4-5所示最左边的线段用V 1 1表示。图中包含两个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形。

 

  图4-4　“蹩马腿”情况     图4-5　正方形  

习题4-3　黑白棋（Othello, ACM/ICPC World Finals 1992, UVa220）

你的任务是模拟黑白棋游戏的进程。黑白棋的规则为：黑白双方轮流放棋子，每次必须让新放的棋子“夹住”至少一枚对方棋子，然后把所有被新放棋子“夹住”的对方棋子替换成己方棋子。一段连续（横、竖或者斜向）的同色棋子被“夹住”的条件是两端都是对方棋子（不能是空位）。如图4-6（a）所示，白棋有6个合法操作，分别为(2,3),(3,3),(3,5), (6,2),(7,3),(7,4)。选择在(7,3)放白棋后变成如图4-6（b）所示效果（注意有竖向和斜向的共两枚黑棋变白）。注意(4,6)的黑色棋子虽然被夹住，但不是被新放的棋子夹住，因此不变白。

 

  （a）     （b）  

图4-6　黑白棋

输入一个8*8的棋盘以及当前下一次操作的游戏者，处理3种指令：

 

习题4-4　骰子涂色（Cube painting, UVa 253）

输入两个骰子，判断二者是否等价。每个骰子用6个字母表示，如图4-7所示。

图4-7　骰子涂色

例如rbgggr和rggbgr分别表示如图4-8所示的两个骰子。二者是等价的，因为图4-8（a）所示的骰子沿着竖直轴旋转90°之后就可以得到图4-8（b）所示的骰子。

 

  （a）     （b）  

图4-8　旋转前后的两个骰子

习题4-5　IP网络（IP Networks, ACM/ICPC NEERC 2005, UVa1590）

可以用一个网络地址和一个子网掩码描述一个子网（即连续的IP地址范围）。其中子网掩码包含32个二进制位，前32-n位为1，后n位为0，网络地址的前32-n位任意，后n位为0。所有前32-n位和网络地址相同的IP都属于此网络。

例如，网络地址为194.85.160.176（二进制为11000010|01010101|10100000|10110000），子网掩码为255.255.255.248（二进制为11111111|11111111|11111111|11111000），则该子网的IP地址范围是194.85.160.176～194.85.160.183。输入一些IP地址，求最小的网络（即包含IP地址最少的网络），包含所有这些输入地址。

例如，若输入3个IP地址：194.85.160.177、194.85.160.183和194.85.160.178，包含上述3个地址的最小网络的网络地址为194.85.160.176，子网掩码为255.255.255.248。

习题4-6　莫尔斯电码（Morse Mismatches, ACM/ICPC World Finals 1997, UVa508）

输入每个字母的Morse编码，一个词典以及若干个编码。对于每个编码，判断它可能是哪个单词。如果有多个单词精确匹配，任选一个输出并且后面加上“!”；如果无法精确匹配，可以在编码尾部增加或删除一些字符以后匹配某个单词（增加或删除的字符应尽量少）。如果有多个单词可以这样匹配上，任选一个输出并且在后面加上“?”。

莫尔斯电码的细节参见原题。

习题4-7　RAID技术（RAID!, ACM/ICPC World Finals 1997, UVa509）

RAID技术用多个磁盘保存数据。每份数据在不止一个磁盘上保存，因此在某个磁盘损坏时能通过其他磁盘恢复数据。本题讨论其中一种RAID技术。数据被划分成大小为s（1≤s≤64）比特的数据块保存在d（2≤d≤6）个磁盘上，如图4-9所示，每d-1个数据块都有一个校验块，使得每d个数据块的异或结果为全0（偶校验）或者全1（奇校验）。

图4-9　数据保存情况

例如，d=5，s=2，偶校验，数据6C7A79EDFC（二进制01101100 01111010 01111001 11101101 11111100）的保存方式如图4-10所示。

图4-10　数据6C7A79EDPC的保存方式

其中加粗块是校验块。输入d、s、b、校验的种类（E表示偶校验，O表示奇校验）以及b（1≤b≤100）个数据块（其中“?”表示损坏的数据），你的任务是恢复并输出完整的数据。如果校验错或者由于损坏数据过多无法恢复，应报告磁盘非法。

提示：本题是位运算的不错练习，但如果没有RAID的知识背景，上述简要翻译可能较难理解，细节建议参考原题。

习题4-8　特别困的学生（Extraordinarily Tired Students, ACM/ICPC Xi'an 2006, UVa12108）

课堂上有n个学生（n≤10）。每个学生都有一个“睡眠-清醒”周期，其中第i个学生醒Ai分钟后睡Bi分钟，然后重复（1≤Ai，Bi≤5），初始时第i个学生处在他的周期的第Ci分钟。每个学生在临睡前会察看全班睡觉人数是否严格大于清醒人数，只有这个条件满足时才睡觉，否则就坚持听课Ai分钟后再次检查这个条件。问经过多长时间后全班都清醒。如果用(A,B,C)描述一些学生，则图4-11中描述了3个学生(2,4,1)、(1,5,2)和(1,4,3)在每个时刻的行为。

图4-11　3个学生每个时刻的行为

注意：有可能并不存在“全部都清醒”的时刻，此时应输出-1。

习题4-9　数据挖掘（Data Mining, ACM/ICPC NEERC 2003, UVa1591）

有两个n元素数组P和Q。P数组每个元素占SP个字节，Q数组每个元素占SQ个字节。有时需直接根据P数组中某个元素P(i)的偏移量Pofs(i)算出对应的Q(i)的偏移量Qofs(i)。当两个数组的元素均为连续存储时，但因为除法慢，可以把式子改写成速度较快的。为了让这个式子成立，在P数组仍然连续存储的前提下，Q数组可以不连续存储（但不同数组元素的存储空间不能重叠）。这样做虽然会浪费一些空间，但是提升了速度，是一种用空间换时间的方法。

输入n、SP和SQ（N≤220，1≤SP，SQ≤210），你的任务是找到最优的A和B，使得占的空间K尽量小。输出K、A、B的值。多解时让A尽量小，如果仍多解则让B尽量小。

提示：本题有一定实际意义，不过描述比较抽象。如果对本题兴趣不大，可以先跳过。

习题4-10　洪水！（Flooded! ACM/ICPC World Finals 1999, UVa815）

有一个n*m（1≤m，n<30）的网格，每个格子是边长10米的正方形，网格四周是无限大的墙壁。输入每个格子的海拔高度，以及网格内雨水的总体积，输出水位的海拔高度以及有多少百分比的区域有水（即高度严格小于水平面）。

本题有多种方法，能锻炼思维，建议读者一试。

4.5.3　小结

指针还有很多相关内容本书没有介绍，例如，指向void型的指针、指向函数的指针、指向常量的指针以及指针和数组之间的关系（注意，尽管在很多地方可以混用，但指针和数组不是一回事！《C语言程序设计奥秘》用一章的篇幅来叙述二者的区别）。正如书中所说，本书将尽量回避指针，但尽管如此，调试并理解前面几个swap函数的工作方式对于理解计算机的工作原理大有好处。

递归需要从概念和语言两个方面理解。从概念上，递归就是“自己使用自己”的意思。递归调用就是自己调用自己，递归定义就是自己定义自己……当然，这里的“使用自己”可以是直接的，也可以是间接的。很多初学者在学习递归时专注于表象，从而未能透彻理解其“计算机”本质。由于我们的重点是设计算法和编写程序，理解递归函数的执行过程是非常重要的。因此，本章大量使用了gdb作为工具讲解内部机理，即使读者在平时编程时不用gdb调试，在学习初期用它帮助理解也是大有裨益的。关于gdb的更多介绍参见附录A。

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(1) 注意：这个函数不是ANSI C的。

(2) gdb是一个功能强大的源码级调试器，虽然是基于命令的文本界面，但运用熟练后非常方便。关于gdb更多的介绍请参见附录A。

(3) 这是一个指向函数的指针，该函数返回一个指针，该指针指向一个只读的指针，此指针指向一个字符变量。

(4) 更严密的说法是：正整数集是满足(1)、(2)的最小集。这里牺牲一点严密性，换来的是更通俗易懂的表达方式。

(5) Linux和Windows下的MinGW中都有这个程序。

(6) 实际上，栈大小是由连接程序ld指定的。gcc编译参数-Wl的作用正是把其后的参数(--stack=<size>)传递给ld。

(7) 这里没有“几乎”二字。函数和递归均可以用其他内容替代。

(8) 有兴趣的读者可以翻阅Paul Graham的经典著作《On Lisp》。

(9) 注意：这里讨论的是编写代码的顺序。在测试时，先测试工具函数的方式非常常用。

(10) 当然，这是笔者的主观看法。有些人觉得充满指针的代码很优美。

(11) 和本章开头的自定义函数不同，头文件里并没有printf的源代码，而只有它的声明。printf属于libc的一部分，有兴趣的读者请自行查阅相关资料。

(12) 方法有两种：一是删除答案恰好处于“舍入交界口”的数据，二是允许选手输出和标准答案有少许出入。