7.6　迭代加深搜索

迭代加深搜索是一个应用范围很广的算法，不仅可以像回溯法那样找一个解，也可以像状态空间搜索那样找一条路径。下面先举一个经典的例子。

埃及分数问题。在古埃及，人们使用单位分数的和（即1/a，a是自然数）表示一切有理数。例如，2/3=1/2+1/6，但不允许2/3=1/3+1/3，因为在加数中不允许有相同的。

对于一个分数a/b，表示方法有很多种，其中加数少的比加数多的好，如果加数个数相同，则最小的分数越大越好。例如，19/45=1/5+1/6+1/18是最优方案。

输入整数a,b（0<a<b<500），试编程计算最佳表达式。

样例输入：

495 499

样例输出：

Case 1: 495/499=1/2+1/5+1/6+1/8+1/3992+1/14970

【分析】

这道题目理论上可以用回溯法求解，但是解答树非常“恐怖”——不仅深度没有明显的上界，而且加数的选择在理论上也是无限的。换句话说，如果用宽度优先遍历，连一层都扩展不完（因为每一层都是无限大的）。

解决方案是采用迭代加深搜索（iterative deepening）：从小到大枚举深度上限maxd，每次执行只考虑深度不超过maxd的结点。这样，只要解的深度有限，则一定可以在有限时间内枚举到。

提示7-17：对于可以用回溯法求解但解答树的深度没有明显上限的题目，可以考虑使用迭代加深搜索（iterative deepening）。

深度上限maxd还可以用来“剪枝”。按照分母递增的顺序来进行扩展，如果扩展到i层时，前i个分数之和为c/d，而第i个分数为1/e，则接下来至少还需要(a/b-c/d)/(1/e)个分数，总和才能达到a/b。例如，当前搜索到19/45=1/5+1/100+…，则后面的分数每个最大为1/101，至少需要(19/45-1/5) / (1/101) =23项总和才能达到19/45，因此前22次迭代是根本不会考虑这棵子树的。这里的关键在于：可以估计至少还要多少步才能出解。

注意，这里的估计都是乐观的，因为用了“至少”这个词。说得学术一点，设深度上限为maxd，当前结点n的深度为g(n)，乐观估价函数为h(n)，则当g(n)+h(n)>maxd时应该剪枝。这样的算法就是IDA*。当然，在实战中不需要严格地在代码里写出g(n)和h(n)，只需要像刚才那样设计出乐观估价函数，想清楚在什么情况下不可能在当前的深度限制下出解即可。

提示7-18：如果可以设计出一个乐观估价函数，预测从当前结点至少还需要扩展几层结点才有可能得到解，则迭代加深搜索变成了IDA*算法。

本题的主框架就是一个简单循环：

int ok = 0;
for(maxd = 1; ; maxd++) {
  memset(ans, -1, sizeof(ans));
  if(dfs(0, get_first(a, b), a, b)) { ok = 1; break; }
}

其中get_first(a, b)是满足1/c≤a/b的最小c。迭代加深搜索过程如下（约分的原理详见第10章）：

//如果当前解v比目前最优解ans更优，更新ans
bool better(int d) {
  for(int i = d; i >= 0; i--) if(v[i] != ans[i]) {
    return ans[i] == -1 || v[i] < ans[i];
  }
  return false;
}

//当前深度为d，分母不能小于from，分数之和恰好为aa/bb
bool dfs(int d, int from, LL aa, LL bb) {
  if(d == maxd) {
    if(bb % aa) return false; //aa/bb必须是埃及分数
    v[d] = bb/aa;
    if(better(d)) memcpy(ans, v, sizeof(LL) * (d+1));
    return true;
  }
  bool ok = false;
  from = max(from, get_first(aa, bb)); //枚举的起点
  for(int i = from; ; i++) {
    //剪枝：如果剩下的maxd+1-d个分数全部都是1/i，加起来仍然不超过aa/bb，则无解
    if(bb * (maxd+1-d) <= i * aa) break;
    v[d] = i;
    //计算aa/bb - 1/i，设结果为a2/b2
    LL b2 = bb*i;
    LL a2 = aa*i - bb;
    LL g = gcd(a2, b2); //以便约分
    if(dfs(d+1, i+1, a2/g, b2/g)) ok = true;
  }
  return ok;
}

例题7-10　编辑书稿（Editing a Book, UVa 11212）

你有一篇由n（2≤n≤9）个自然段组成的文章，希望将它们排列成1, 2,…, n。可以用Ctrl+X（剪切）和Ctrl+V（粘贴）快捷键来完成任务。每次可以剪切一段连续的自然段，粘贴时按照顺序粘贴。注意，剪贴板只有一个，所以不能连续剪切两次，只能剪切和粘贴交替。

例如，为了将{2,4,1,5,3,6}变为升序，可以剪切1将其放到2前，然后剪切3将其放到4前。再如，对于排列{3,4,5,1,2}，只需一次剪切和一次粘贴即可——将{3,4,5}放在{1,2}后，或者将{1,2}放在{3,4,5}前。

【分析】

本题是典型的状态空间搜索问题，“状态”就是1～n的排列，初始状态是输入，终止状态是1, 2, 3,…, n。因为n≤9，排列最多有9!=362880个。虽然这个数字不算大，但是每个状态的后继状态也比较多（有很多剪切和粘贴的方式），所以仍有超时的危险。比赛时很多选手使用了一些“加速策略”。

策略1：每次只剪切一段连续的数字。例如，不要剪切2 4这样数字不连续的片段。

策略2：假设剪切片段的第一个数字为a，最后一个数字为b，要么把这个片段粘贴到a^-1的下一个位置，要么粘贴到b+1的前一个位置。

策略3：永远不要“破坏”一个已经连续排列的数字片段。例如，不能把1 2 3 4中的2 3剪切出来。

3种策略都能缩小状态空间，但它们并不都是正确的。很多程序都无法得到“5 4 3 2 1”的正确结果（答案是3步而不是4步：5 4 3 2 1——>3 2 5 4 1→3 4 1 2 5→1 2 3 4 5），读者不妨自行验证上面的3种策略是否可以得到这组数据的正确答案。

本题可以用IDA*算法求解。不难发现n≤9时最多只需要8步，因此深度上限为8。IDA*的关键在于启发函数。考虑后继不正确的数字个数h，可以证明每次剪切时h最多减少3，因此当3d+h>3maxd时可以剪枝，其中d为当前深度，maxd为深度限制⁽³⁾。

如何证明每次剪切时h最多减少3呢？如图7-19所示，因为最多只有3个数字的后继数字发生了改变（即图中的a, b, c），h自然最多减少3。

图7-19　h最多减少3