7.7　竞赛题目选讲

本章的篇幅不少，但实际上介绍的算法很有系统性，并不杂乱。这里先把这些算法和常见解决问题的思路总结一下，然后选讲一些例题，

直接枚举。例如，类似“1～n的整数中有多少个满足……”，“输入一个长度为n的序列，有多少个连续子序列满足……”的问题都可以用直接枚举法。枚举法可以解决问题，但是效率不一定足够高。第8章中将详细讨论算法效率的分析方法。

枚举子集和排列。n个元素的子集有2ⁿ个，可以用递归的方法枚举（前面介绍的增量法和位向量法都属于递归枚举），也可以用二进制的方法枚举。递归法的优点在于效率高，方便剪枝，缺点在于代码比较长。一般来说，当n很小（如n≤15）时，会使用二进制的方式枚举。

n个不同元素的全排列有n!个。除了用递归的方法枚举之外，还可以用STL的next_permutation来枚举，它也适用于有重复元素的情形。

回溯法。简单地说，回溯法几乎就是递归枚举，只是多了一条：违反题目要求时及时终止当前递归过程，即回溯（backtracking）。回溯法最经典的题目就是八皇后问题，这个问题也常常被作为“判断有没有学过回溯法”的依据。7.4节的几个例题非常经典，覆盖了回溯法的几个常见话题：搜索对象的选取（天平难题）、最优性剪枝（带宽），以及减少无用功（困难的串）。

状态空间搜索。从本质上讲，状态空间搜索算法和图算法的相似度比较大，但是图往往是“隐式”给出，所以这些算法又称“隐式图搜索”或者“产生式系统”⁽⁴⁾。如果仔细品味前面《八数码问题》的解法，可以发现这个解法其实就是一个普通的BFS加上了“结点查找表”。前面介绍了3种方法实现结点查找表，各有用武之地。建议读者先熟练掌握后面两种（哈希表和STL集合），待学习完第10章后再尝试使用第一种方法（一一映射，或称“完美哈希”）。这些方法不仅能加快状态空间搜索的速度，还能给其他算法加速。第8章和第9章中将继续讨论这个问题。另外，双向广度优先搜索和A*等算法也有各自的用武之地，虽然限于篇幅未加介绍，但是笔者鼓励大家花一些时间搜索相关资料，并加以学习。例题中的“万圣节后的早晨”就是一处很好的“试验田”。

迭代加深搜索。本章最后介绍了迭代加深搜索。这是一个长期以来被“低估”了的算法，可以用来解决很多看起来更适合用BFS或者回溯法解决的问题，埃及分数问题就是一个绝好的例子，而例题“编辑书稿”也非常经典。

例题7-11　宝箱（Zombie's Treasure Chest, Shanghai 2011, UVa12325）

你有一个体积为N的箱子和两种数量无限的宝物。宝物1的体积为S1，价值为V1；宝物2的体积为S2，价值为V2。输入均为32位带符号整数。你的任务是计算最多能装多大价值的宝物。例如，n=100，S1=V1=34，S2=5，V2=3，答案为86，方案是装两个宝物1，再装6个宝物2。每种宝物都必须拿非负整数个。

【分析】

最容易想到的方法是：枚举宝物1的个数，然后尽量多拿宝物2。这样做的时间复杂度为O(N/S1)，当N和S1相差非常悬殊时效率很低。当然，如果N/S2很小时可以改成枚举宝物2的个数，所以这个方法不奏效的条件是：S1和S2都很小，而N很大。

幸运的是，S1和S2都很小时，有另外一种枚举法B：S2个宝物1和S1个宝物2的体积相等，而价值分别为S2*V1和S1*V2。如果前者比较大，则宝物2最多只会拿S1-1个（否则可以把S1个宝物2换成S2个宝物1）；如果后者比较大，则宝物1最多只会拿S2-1个。不管是哪种情况，枚举量都只有S1或者S2。

这样，就得到了一个比较“另类”的分类枚举算法：

当N/S1比较小时枚举宝物1的个数，时间复杂度为O(N/S1)，否则，当N/S2比较小时枚举宝物2的个数，时间复杂度为O(N/S2)，否则说明S1和S2都比较小，执行枚举法B，时间复杂度为O(max{S1, S2})。

例题7-12　旋转游戏（The Rotation Game, Shanghai 2004, UVa1343）

如图7-20所示形状的棋盘上分别有8个1、2、3，要往A～H方向旋转棋盘，使中间8个方格数字相同。图7-20（a）进行A操作后变为图7-20（b），再进行C操作后变为图7-20（c），这正是一个目标状态（因为中间8个方格数字相同）。要求旋转次数最少。如果有多解，操作序列的字典序应尽量小。

图7-20　旋转游戏示意图

【分析】

本题是一个典型的状态空间搜索问题，可惜如果直接套用八数码问题的框架会超时。为什么？学完第10章的组合计数部分后会知道：8个1、8个2、8个3的全排列个数为24!/(8!*8!*8!)=9465511770。换句话说，最坏情况下最多要处理这么多结点！

解决方法很巧妙：本题要求的是中间8个数字相同，即8个1或者8个2或者8个3。因此可以分3次求解。当目标是“中间8个数字都是1”时，2和3就没有区别了（都是“非1”），因此状态总数变成了8个1，16个“非1”的全排列个数，即24!/(8!*16!)=735471，在可以接受的范围内了⁽⁵⁾。另外，除了BFS外还可以用IDA*，代码更清晰易懂（详见代码仓库）。

例题7-13　快速幂计算（Power Calculus, ACM/ICPC Yokohama 2006, UVa1374）

输入正整数n（1≤n≤1000），问最少需要几次乘除法可以从x得到xⁿ？例如，x³¹需要6次：。计算过程中x的指数应当总是正整数（如x^-3=x/x⁴是不允许的）。

【分析】

这个题有一点“埃及分数”的味道，可以考虑迭代加深搜索。当前状态是已经得到的指数集合，操作是任选两个数进行加法和减法，并且不能产生重复的数，如图7-21所示。

图7-21　快速幂计算示意图

沿用之前的符号，d表示当前深度，maxd表示深度上限，则如果当前序列最大的数乘以2^maxd-d之后仍小于n，则剪枝（想一想，为什么）。另外，为了尽快接近目标，不应该“任选”两个数，而应该先选较大的数，并且先试加法再试减法⁽⁶⁾。这样做可以在最后一次迭代（即找到解的那次迭代）中比较快地找到解，从而终止整个搜索过程，而不需要等整个解答树扩展完毕。

因为题目一共只有1000种可能的输入，写完程序之后可以试试是否对所有输入都能足够快地出解。只要比赛允许，甚至可以预先把n=1～1000范围的所有解算出来，输出成如下源代码：

#include<cstdio>
int answer[ ] = {0, 0, 1, ...}; //answer[1]=0, answer[2]=1, ...
int main( ) {
  int n;
  while(scanf("%d", &n) == 1 && n) printf("%d\n", answer[n]);
  return 0;
}

这样的技巧俗称“打表”。本题还有一些常见的优化，例如，限制减法的次数（实际上大部分时候都是最大的数乘以2），或者限制超过n的数的个数（事实上，可以证明最多有一个数需要超过n），读者不妨一试。另外还有一个猜想：每次总是使用“刚刚得到”的那个数。限于水平，笔者无法证明这个猜想，但是1000以内没有找到反例。

例题7-14　网格动物（Lattice Animals, ACM/ICPC NEERC 2004, UVa1602）

输入n、w、h（1≤n≤10，1≤w，h≤n），求能放在w*h网格里的不同的n连块的个数（注意，平移、旋转、翻转后相同的算作同一种）。例如，2*4里的5连块有5种（第一行），而3*3里的8连块有以下3种（第二行），如图7-22所示。

【分析】

本题看上去没有什么好办法，只能用回溯法求解。如何求解呢？首先需要确定搜索对象。因为要求各个格子连通，所以可以把“连通块”作为搜索对象，每次枚举一个位置，然后放一个新的块，最后判重，如图7-23所示。

图7-22　网格动物例题示意图	图7-23　回溯法求解

需要注意的是，如果采用最简单的写法，每个n连块都会被重复枚举很多次（想一想，为什么）。也可以用前面介绍过的方法判重，但实际上有办法确保每个n连块恰好被枚举一次，由Redelmeier发现，有兴趣的读者可以自行研究⁽⁷⁾。

本题非常经典，强烈建议读者编写程序。

可以参考en.wikipedia.org/wiki/Polyomino。

例题7-15　破坏正方形（Square Destroyer, ACM/ICPC Taejon 2001, UVa1603）

有一个火柴棍组成的正方形网格，每条边有n根火柴，共2n(n+1)根。从上到下、从左到右给各个火柴编号，如图7-24（a）所示。现在拿走一些火柴，问在剩下的火柴中，至少还要拿走多少根火柴才能破坏所有正方形？例如，在图7-24（b）中，拿掉3根火柴就可以破坏掉仅有的5个正方形。

（a）	（b）

图7-24　破坏正方形示意图

【分析】

不难想到用迭代加深搜索作为主算法框架。搜索对象有两种：（1）每次考虑一个没有被破坏的正方形，在边界上找一根火柴拿掉；（2）每次找一个至少能破坏一个正方形的火柴，然后拿掉。两种方法各有不同的优化方法：

搜索对象是正方形。应先考虑小正方形，再考虑大正方形，因为破坏完小正方形之后，很多大正方形已经被破坏了，但是反过来却不一定。还可以加入最优性剪枝，即把每个正方形看成一个顶点，有公共火柴的正方形连一条边，则每个连通分量至少要拿走一根火柴。

搜索对象是火柴。应先搜索能破坏尽量多正方形的火柴。这需要计算出待考虑的每根火柴可以破坏掉多少个正方形，从大到小排序为d[1], d[2], d[3],……当d[1]=1时即可停止搜索，因为此时可以直接计算出还需要的火柴个数（想一想，为什么）。这个d数组也可以用于最优性剪枝，找到最小的i，使得d[1]+d[2]+…+d[i]≥k（其中k为还剩的正方形个数），则至少还要i根火柴。

值得一提的是：本题还可以用经典的DLX算法解决。该算法超出了本章的范围，但在《算法竞赛入门经典——训练指南》中有详细叙述。