7.8　训练参考

前面已经提到过，本章介绍的算法比较有系统性，因此也没有选择太多的例题。建议读者独立完成所有例题。本章例题列表及说明如表7-3所示。

表7-3　例题列表

下面是本章的习题。这些题目大都具有一定的复杂性，读者可以选择自己有兴趣的5道题目完成。如果想达到更好的效果，建议完成至少10道题目。

习题7-1　消防车（Firetruck, ACM/ICPC World Finals 1991, UVa208）

输入一个n（n≤20）个结点的无向图以及某个结点k，按照字典序从小到大顺序输出从结点1到结点k的所有路径，要求结点不能重复经过。

提示：要事先判断结点1是否可以到达结点k，否则会超时。

习题7-2　黄金图形（Golygons, ACM/ICPC World Finals 1993, UVa225）

平面上有k个障碍点。从(0,0)点出发，第一次走1个单位，第二次走2个单位，……，第n次走n个单位，恰好回到(0,0)。要求只能沿着东南西北方向走，且每次必须转弯90°（不能沿着同一个方向继续走，也不能后退）。走出的图形可以自交，但不能经过障碍点，如图7-25所示。

图7-25　黄金图形示意图

输入n、k（1≤n≤20，0≤k≤50）和所有障碍点的坐标，输出所有满足要求的移动序列（用news表示北、东、西、南），按照字典序从小到大排列，最后输出移动序列的总数。

习题7-3　多米诺效应（The Domino Effect, ACM/ICPC World Finals 1991, UVa211）

一副“双六”多米诺骨牌包含28张，编号如图7-26所示。

图7-26　多米诺骨牌编号

在7*8网格中每张牌各摆一张，如图7-27所示，左边是各个格子的点数，右边是各个格子所属的骨牌编号。

图7-27　7*8网格中骨牌摆放

输入左图，你的任务是输出所有可能的右图。

习题7-4　切断圆环链（Cutting Chains, ACM/ICPC World Finals 2000, UVa818）

有n（n≤15）个圆环，其中有一些已经扣在了一起。现在需要打开尽量少的圆环，使得所有圆环可以组成一条链（当然，所有打开的圆环最后都要再次闭合）。例如，有5个圆环，1-2, 2-3, 4-5，则需要打开一个圆环，如圆环4，然后用它穿过圆环3和圆环5后再次闭合圆环4，就可以形成一条链：1-2-3-4-5。

习题7-5　流水线调度（Pipeline Scheduling, UVa690）

你有一台包含5个工作单元的计算机，还有10个完全相同的程序需要执行。每个程序需要n（n<20）个时间片来执行，可以用一个5行n列的保留表（reservation table）来表示，其中每行代表一个工作单元（unit0～unit4），每列代表一个时间片，行i列j的字符为X表示“在程序执行的第j个时间片中需要工作单元i”。例如，如图7-28（a）所示就是一张保留表，其中程序在执行的第0, 1, 2, ……个时间片中分别需要unit0, unit1, unit2……

同一个工作单元不能同时执行多个程序，因此若两个程序分别从时间片0和1开始执行，则在时间片5时会发生冲突（两个程序都想使用unit0），如图7-28（b）所示。

输入一个5行n（n<20）列的保留表，输出所有10个程序执行完毕所需的最少时间。例如，对于图7-28（a）的保留表，执行完10个程序最少需要34个时间片。

（a）	（b）

图7-28　流水线调度示意图

习题7-6　重叠的正方形（Overlapping Squares, Xia'an 2006, UVa12113）

给定一个4*4的棋盘和棋盘上所呈现出来的纸张边缘，如图7-29所示，问用不超过6张2*2的纸能否摆出这样的形状。

图7-29　重叠正方形示意图

习题7-7　埃及分数（Eg[y]ptian Fractions (HARD version), Rujia Liu's Present 6, UVa 12558）

把a/b写成不同的埃及分数之和，要求项数尽量小，在此前提下最小的分数尽量大，然后第二小的分数尽量大……另外有k（0≤k≤5）个数不能用作分母。例如，k=0时5/121=1/33+1/121+1/363，不能使用33时最优解为5/121=1/45+1/55+1/1089。

输入保证2≤a<b≤876，gcd(a,b)=1，且会挑选比较容易求解的数据。

习题7-8　数字谜（Digit Puzzle, ACM/ICPC Xi'an 2006,UVa12107）

给出一个数字谜，要求修改尽量少的数，使修改后的数字谜只有唯一解。例如，如图7-30所示的两个数字谜就有唯一解。

图7-30　数字谜示意图

修改指的是空格和数字可以随意替换，但不能增删。即空格换数字、数字换空格或数字替换。数字谜中所有涉及的数必须是没有前导零的正数。输入数字谜一定形如a*b=c，其中a、b、c分别最多有2、2、4位。

输入保证有解。如果有多种修改方案，则输出字典序最小的。字典序中空格小于数字。

习题7-9　立体八数码问题（Cubic Eight-Puzzle , ACM/ICPC Japan 2006, UVa1604）

有8个立方体，按照相同方式着色（如图7-31（a）所示，相对的面总是着相同颜色），然后以相同的朝向摆成一个3*3的方阵，空出一个位置（如图7-31（b）所示，空位由输入决定）。

（a）	（b）

图7-31　立体八数码问题示意图

每次可以把一个立方体“滚动”一格进入空位，使它原来的位置成为空位，如图7-32所示。

图7-32　“滚动”后效果

你的任务是用最少的移动使得上表面呈现出指定的图案。输入空位的坐标和目标状态中上表面各个位置的颜色，输出最小移动步数。

习题7-10　守卫棋盘（Guarding the Chessboard, UVa11214）

输入一个n*m棋盘（n,m<10），某些格子有标记。用最少的皇后守卫（即占据或者攻击）所有带标记的格子。

习题7-11　树上的机器人规划（简单版）（Planning mobile robot on Tree (EASY Version), UVa12569）

有一棵n（4≤n≤15）个结点的树，其中一个结点有一个机器人，还有一些结点有石头。每步可以把一个机器人或者石头移到一个相邻结点。任何情况下一个结点里不能有两个东西（石头或者机器人）。输入每个石头的位置和机器人的起点和终点，求最小步数的方案。如果有多解，可以输出任意解。如图7-33所示，s=1，t=5时，最少需要16步：机器人1-6，石头2-1-7，机器人6-1-2-8，石头3-2-1-6，石头4-3-2-1，最后机器人8-2-3-4-5。

习题7-12　移动小球（Moving Pegs, ACM/ICPC Taejon 2000, UVa1533）

如图7-34所示，一共有15个洞，其中一个空着，剩下的洞里各有一个小球。每次可以让一个小球越过同一条直线上的一个或多个连续的小球，落到最近的空洞（不能越过空洞），然后拿走被跳过的小球。例如，让14跳到空洞5中，则洞9里的小球会被拿走，因此操作之后洞9和14会变空，而5里面会有一个小球。你的任务是用最少的步数让整个棋盘只剩下一个小球，并且位于初始时的那个空洞中。

图7-33　树上的机器人规划示意图	图7-34　移动小球示意图

输入仅包含一个整数，即空洞编号，输出最短序列的长度m，然后是m个整数对，分别表示每次跳跃的小球所在的洞编号以及目标洞的编号。

习题7-13　数字表达式（According to Bartjens, ACM/ICPC World Finals 2000, UVa 817）

输入一个以等号结尾、前面只包含数字的表达式，插入一些加号、减号和乘号，使得运算结果等于2000。表达式里的整数不能有前导零（例如，0100或者000都是非法的），运算符都是二元的（例如，2*-100*-10+0=是非法的），并且符合通常的运算优先级法则。

输入数字个数不超过9。如果有多解，按照字典序从小到大输出；如果无解，输出IMPOSSIBLE。例如，2100100=有3组解，按照字典序依次为2*100*10+0=、2*100*10-0=和2100-100=。

习题7-14　小木棍（Sticks, ACM/ICPC CERC 1995, UVa 307）

乔治有一些同样长的小木棍，他把这些木棍随意地砍成几段，直到每段的长度都不超过50。现在，他想把小木棍拼接成原来的样子，但是却忘记了自己最开始时有多少根木棍和它们的分别长度。给出每段小木棍的长度，编程帮他找出原始木棍的最小可能长度。例如，若砍完后有4根，长度分别为1, 2, 3, 4，则原来可能是2根长度为5的木棍，也可能是1根长度为10的木棍，其中5是最小可能长度。另一个例子是：砍之后的木棍有9根，长度分别为5, 2, 1, 5, 2, 1, 5, 2, 1，则最小可能长度为6（5+1=5+1=5+1=2+2+2=6），而不是8（5+2+1=8）。

习题7-15　最大的数（Biggest Number, UVa11882）

在一个R行C列（2≤R，C≤15，R*C≤30）的矩阵里有障碍物和数字格（包含1～9的数字）。你可以从任意一个数字格出发，每次沿着上下左右之一的方向走一格，但不能走到障碍格中，也不能重复经过一个数字格，然后把沿途经过的所有数字连起来，如图7-35所示。

如图7-35可以得到9784、4832145等整数。问：能得到的最大整数是多少？

习题7-16　找座位（Finding Seats Again, UVa11846）

有一个n*n（n<20）的座位矩阵里坐着k（k≤26）个研究小组。每个小组的座位都是矩形形状。输入每个小组组长的位置和该组的成员个数，找到一种可能的座位方案。如图7-36所示是一组输入和对应的输出。

图7-35　最大的数示意图	图7-36　找座位问题示意图

习题7-17　Gokigen Naname谜题（Gokigen Naname, UVa11694）

在一个n*n（n≤7）网格中，有些交叉点上有数字。你的任务是给每个格子画一条斜线（一共只有“\”和“/”两种），使得每个交叉点的数字等于和它相连的斜线条数，且这些斜线不会构成环，如图7-37所示。

图7-37　Gokigen Naname谜题示意图

习题7-18　推门游戏（The Wall Pusher, UVa10384）

如图7-38所示，从S处出发，每次可以往东、南、西、北4个方向之一前进。如果前方有墙壁，游戏者可以把墙壁往前推一格。如果有两堵或者多堵连续的墙，则不能推动。另外，游戏者也不能推动游戏区域边界上的墙。

图7-38　推门游戏示意图

用最少的步数走出迷宫（边界处没有墙的地方就是出口）。迷宫总是有4行6列，多解时任意输出一个移动序列即可（用NEWS这4字符表示移动方向）。

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(1) 如果有读者找到反例或者正确性证明，请联系笔者或者出版社，我们会在重印时更正。

(2) 还有一个不错的候选算法是A*，可惜超出了本书的范围，有兴趣的读者可以自行搜索相关资料。

(3) 此处故意没有用前面介绍的h(s)、g(s)等记号。事实上，经常采用这种直观的方式来思考，而不去理会那些记号。

(4) 这个术语多用在传统人工智能书籍中，虽有一些描述上的差别，但本质相同。

(5) 一般来说，状态总数不超过10⁶时都在可接受范围内。不过这只是一般规律，还要具体问题具体分析。

(6) 这种技巧称为结点排序（node ordering）。

(7) 可以参考en.wikipedia.org/wiki/Polyomino。