8.3　递归与分治

除了排序与检索外，递归还有更广泛的应用。

棋盘覆盖问题。有一个2^k*2^k的方格棋盘，恰有一个方格是黑色的，其他为白色。你的任务是用包含3个方格的L型牌覆盖所有白色方格。黑色方格不能被覆盖，且任意一个白色方格不能同时被两个或更多牌覆盖。如图8-3所示为L型牌的4种旋转方式。

图8-3　L型牌

【分析】

本题的棋盘是2^k*2^k的，很容易想到分治：把棋盘切为4块，则每一块都是2^k-1*2^k-1的。有黑格的那一块可以递归解决，但其他3块并没有黑格子，应该怎么办呢？可以构造出一个黑格子，如图8-4所示。递归边界也不难得出：k=1时一块牌就够了。

循环日程表问题。n=2^k个运动员进行网球循环赛，需要设计比赛日程表。每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次；每个选手一天只能赛一次；循环赛一共进行n-1天。按此要求设计一张比赛日程表，该表有n行和n-1列，第i行j列为第i个选手第j天遇到的选手。

【分析】

本题的方法有很多，递归是其中一种比较容易理解的方法。如图8-5所示是k=3时的一个可行解，它是4块拼起来的。左上角是k=2时的一组解，左下角是左上角每个数加4得到，而右上角、右下角分别由左下角、左上角复制得到。

图8-4　棋盘覆盖问题的递归解法	图8-5　循环日程表问题k  =3时的解

巨人与鬼。在平面上有n个巨人和n个鬼，没有三者在同一条直线上。每个巨人需要选择一个不同的鬼，向其发送质子流消灭它。质子流由巨人发射，沿直线行进，遇到鬼后消失。由于质子流交叉是很危险的，所有质子流经过的线段不能有交点。请设计一种给巨人和鬼配对的方法。

【分析】

由于只需要一种配对方法，从直观上来说本题一定是有解的。由于每一个巨人和鬼都需要找一个目标，不妨先给“最特殊”的巨人或鬼寻找“搭档”。

考虑y坐标最小的点（即最低点）。如果有多个这样的点，考虑最左边的点（即其中最左边的点），则所有点的极角在范围[0,π)内。不妨设它是一个巨人，然后把所有其他点按照极角从小到大的顺序排序后依次检查。

情况1：第一个点是鬼，那么配对完成，剩下的巨人和鬼仍然是一样多，而且不会和这一条线段交叉，如图8-6（a）所示。

情况2：第一个点是巨人，那么继续检查，直到已检查的点中鬼和巨人一样多为止。找到了这个“鬼和巨人”配对区间后，只需要把此区间内的点配对，再把区域外的点配对即可，如图8-6（b）所示。这个配对过程是递归的，好比棋盘覆盖中一样。会不会找不到这样的配对区间呢？不会的。因为检查完第一个点后鬼少一个，而检查完最后一个点时鬼多一个，而巨人和鬼的数量差每次只能改变1，因此“从少到多”的过程中一定会有“一样多”的时候。

（a）	（b）

图8-6　巨人与鬼问题