8.7　训练参考

本章是竞赛篇中的第一章节，例题难度和前7章相比有较大幅度的提升。如果希望在高水平算法竞赛中取得好成绩，本章中的所有例题（见表8-5）都是必须掌握的。另一方面，在初学阶段，不必强求掌握表8-5中带星号的例题，只需要尽量掌握未带星号的例题。

表8-5　例题列表

算法设计方法和技巧五花八门，因此本章的习题也比前7章更多。建议读者阅读所有题目，选择自己有思路的题目深入思考并编程实现。排列在前面的习题总体上会更简单一些，但也有一些例外。这些习题的整体难度比前7章大，读者需要做好花费更多时间的心理准备。

习题8-1　装箱（Bin Packing, SWERC 2005, UVa1149）

给定N（N≤10⁵）个物品的重量L_i，背包的容量M，同时要求每个背包最多装两个物品。求至少要多少个背包才能装下所有的物品。

习题8-2　聚会游戏（Party Games, Mid－Atlantic 2012, UVa1610）

输入一个n（2≤n≤1000，n是偶数）个字符串的集合D，找一个长度最短的字符串（不一定在D中出现）S，使得D中恰好一半串小于等于S，另一半串大于S。如果有多解，输出字典序最小的解。例如，对于{JOSEPHINE, JERRY}，输出JF；对于{FRED, FREDDIE}，输出FRED。提示：本题看似简单，实际上暗藏陷阱，需要考虑细致、周全。

本题容易想复杂，或者把细节想错，强烈建议读者编程实现。

习题8-3　比特变换器（Bits Equalizer, SWERC 2012, UVa12545）

输入两个等长（长度不超过100）的串S和T，其中S包含字符0, 1, ?，但T只包含0和1。你的任务是用尽量少的步数把S变成T。每步有3种操作：把S中的0变成1；把S中的“?”变成0或者1；交换S中任意两个字符。例如，01??00经过3步可以变成001010（方法是先把两个问号变成1和0，再交换两个字符）。

习题8-4　奖品的价值（Erasing and Winning, UVa11491）

你是一个电视节目的获奖嘉宾。主持人在黑板上写出一个n位整数（不以0开头），邀请你删除其中的d个数字，剩下的整数便是你所得到的奖品的价值。当然，你希望这个奖品价值尽量大。1≤d＜n≤10 ⁵。

习题8-5　折纸痕（Paper Folding, UVa177）

你喜欢折纸吗？给你一张很大的纸，对折以后再对折，再对折……每次对折都是从右往左折，因此在折了很多次以后，原先的大纸会变成一个窄窄的纸条。现在把这个纸条沿着折纸的痕迹打开，每次都只打开“一半”，即把每个痕迹做成一个直角，那么从纸的一端沿着和纸面平行的方向看过去，会看到一个美妙的曲线。

例如，如果对折了4次，那么打开以后将看到如图8-30所示的曲线。注意，该曲线是不自交的，虽然有两个转折点重合。给出对折的次数，请编程绘出打开后生成的曲线。

图8-30　直角折痕

习题8-6　起重机（Crane, ACM/ICPC CERC 2013, UVa1611）

输入一个1～n（1≤n≤10000）的排列，用不超过9⁶次操作把它变成升序。每次操作都可以选一个长度为偶数的连续区间，交换前一半和后一半。例如，输入5, 4, 6, 3, 2, 1，可以执行1, 2先变成4, 5, 6, 3, 2, 1，然后执行4, 5变成4, 5, 6, 2, 3, 1，然后执行5, 6变成4, 5, 6, 2, 1, 3，然后执行4, 5变成4, 5, 6, 1, 2, 3，最后执行操作1,6即可。

提示：2n次操作就足够了。

习题8-7　生成排列（Generating Permutations, UVa11925）

输入一个1～n（1≤n≤300）的排列，用不超过2n²次操作把它变成升序。操作只有两种：交换前两个元素（操作1）；把第一个元素移动到最后（操作2）。

例如，输入排列为4, 2, 3, 1，一个合法操作序列为12122，具体步骤是：4231-＞2431-＞4312-＞3412-＞4123-＞1234。

习题8-8　猜名次（Guess, ACM/ICPC Beijing 2006, UVa1612）

有n（n≤16384）位选手参加编程比赛。比赛有3道题目，每个选手的每道题目都有一个评测之前的预得分（这个分数和选手提交程序的时间相关，提交得越早，预得分越大）。接下来是系统测试。如果某道题目未通过测试，则该题的实际得分为0分，否则得分等于预得分。得分相同的选手，ID小的排在前面。

问是否能给出所有3n个得分以及最后的实际名次。如果可能，输出最后一名的最高可能得分。每个预得分均为小于1000的非负整数，最多保留两位小数。

习题8-9　K度图的着色（K－Graph Oddity, ACM/ICPC NEERC 2010, UVa1613）

输入一个n（3≤n≤9999）个点m条边（2≤m≤100000）的连通图，n保证为奇数。设k为最小的奇数，使得每个点的度数不超过k，你的任务是把图中的结点涂上颜色1～k，使得相邻结点的颜色不同。多解时输出任意解。输入保证有解。如图8-31所示，k=3。

图8-31　连通图

习题8-10　奇怪的股市（Hell on the Markets,ACM/ICPC NEERC 2008, UVa1614）

输入一个长度为n（n≤100000）的序列a，满足1≤a_i≤i，要求确定每个数的正负号，使得所有数的总和为0。例如a={1, 2, 3, 4}，则设4个数的符号分别是1, －1, －1, 1即可（1－2－3＋4=0），但如果a={1, 2, 3, 3}，则无解（输出No）。

习题8-11　高速公路（Highway, ACM/ICPC SEERC 2005, UVa1615）

给定平面上n（n≤10⁵）个点和一个值D，要求在x轴上选出尽量少的点，使得对于给定的每个点，都有一个选出的点离它的欧几里德距离不超过D。

习题8-12　顾客是上帝（Keep the Customer Satisfied, ACM/ICPC SWERC 2005, UVa1153）

有n（n≤800000）个工作，已知每个工作需要的时间q_i和截止时间d_i（必须在此之前完成），最多能完成多少个工作？工作只能串行完成。第一项任务开始的时间不早于时刻0。

习题8-13　外星人聚会（Meeting with Aliens, UVa10570）

输入1～n的一个排列（3≤n≤500），每次可以交换两个整数。用最少的交换次数把排列变成1～n的一个环状排列。

习题8-14　商队抢劫者（Caravan Robbers, ACM/ICPC NEERC 2012, UVa1616）

输入n条线段，把每条线段变成原线段的一条子线段，使得改变之后所有线段等长且不相交（但是端点可以重合）。输出最大长度（用分数表示）。例如，有3条线段[2,6]，[1,4]，[8,12]，则最优方案是分别变成[3.5,6]，[1,3.5]，[8,10.5]，输出5/2。

习题8-15　笔记本（Laptop, ACM/ICPC Daejeon 2012, UVa1617）

有n（1≤n≤100000）条长度为1的线段，确定它们的起点（必须是整数），使得第i条线段在[r_i,d_i]之间（0≤r_i≤d_i≤1000000）。输入保证r_i≤r_j，当且仅当d_i≤d_j，且保证有解。输出“空隙”数目的最小值。如图8-32所示，5条线段的范围分别为[4,8]，[1,3]，[8,10]，[0,3]，[6,8]，一组解如图8-32所示，空隙有3个。

图8-32　5条线段范围

最优解如图8-33所示，空隙数目仅为1（T₂和T₅之间）。

图8-33　最优解

习题8-16　弱键（Weak Key, ACM/ICPC Seoul 2004, UVa1618）

给出k（4≤k≤5000）个互不相同的整数组成的序列N_i，判断是否存在4个整数N_p、N_q、N_r和N_s（1≤p＜q＜r＜s≤k），使得N_q＞N_s＞N_p＞N_r或者N_q＜N_s＜N_p＜N_r。

习题8-17　最短子序列（Smallest Sub－Array, UVa11536）

有n（n≤10⁶）个0～m－1（m≤1000）的整数组成一个序列。输入k（k≤100），你的任务是找一个尽量短的连续子序列(x_a, x_a＋1, x_a＋2,…, x_b－1, x_b)，使得该子序列包含1～k的所有整数。

例如，n=20，m=12，k=4，序列为1 (2 3 7 1 12 9 11 9 6 3 7 5 4) 5 3 1 10 3 3，括号内部分是最优解。如果不存在满足条件的连续子序列，输出sequence nai。

习题8-18　感觉不错（Feel Good, ACM/ICPC NEERC 2005, UVa1619）

给出一个长度为n（n≤100000）的正整数序列a_i，求出一段连续子序列a_l,…,a_r, 使得(a_l＋…＋a_r)^*min{a_l,…,a_r}尽量大。

习题8-19　球场（Cricket Field, ACM/ICPC NEERC 2002, UVa 1312）

一个W^*H（1≤W，H≤10000）网格里有n（0≤n≤100）棵树，如图8-34所示，要求找一个最大空正方形。

图8-34　球场

习题8-20　懒惰的苏珊（Lazy Susan, ACM/ICPC Danang 2007, UVa1620）

把1～n（n≤500）放到一个圆盘里，每个数恰好出现一次。每次可以选4个连续的数字翻转顺序。问：是否能变成1, 2, 3,…, n的顺序？

提示：需要先奇偶分析排除无解的情况，然后写程序、找规律，或者手算得出有解时的构造算法。

习题8-21　跳来跳去（Jumping Around, ACM/ICPC NEERC 2012, UVa1621）

你的任务是数轴上的0点出发，访问0, 1, 2,…, n各一次，在任意点终止。需要用票才能从一个点到达另一个点。有3种票，跳跃长度为1, 2, 3，分别有a, b, c张（3≤a,b,c≤5000），且n=a＋b＋c。每张票只能用一次。输入保证有解。

例如，a=3，b=4，c=3，则n=10，一种可能解为0-＞3-＞1-＞2-＞5-＞4-＞6-＞9-＞7-＞8-＞10，其中第1种票的3张分别用在1-＞2，5-＞4，7-＞8；第2种票的4张分别用在3-＞1，4-＞6，9-＞7，8-＞10；第3种票的3张分别用在0-＞3，2-＞5，6-＞9。

习题8-22　机器人（Robot, ACM/ICPC Beijing 2006, UVa1622）

有一个n*m（1≤n，m≤10⁵）的网格，每个格子里都有一个机器人。每次可以发出如下4种指令之一：NORTH、SOUTH、EAST、WEST，作用是让所有机器人往相应方向走一格。如果一个机器人在执行某一命令后走出了网格，则它会立即炸毁。

给出4种指令的总条数（0≤C_N,C_S,C_W,C_E≤10⁵），求一种指令顺序使得所有机器人执行的命令条数之和最大。炸毁的机器人不再执行命令。

习题8-23　神龙喝水（Enter the Dragon, ACM/ICPC CERC 2010, UVa1623）

某城市里有n个湖，每个湖都装满了水。天气预报显示不久的将来会有暴雨。具体来说，在接下来的m天内，每天要么不下雨，要么恰好往一个湖里下暴雨。如果这个湖里已经装满了水，将会引发水灾。为了避免水灾，市长请来一只神龙，可以在每个不下雨的天里喝干一个湖里的水（也可以不喝）。如果以后再往这个干枯的湖里下暴雨，湖会重新被填满，但不会引发水灾。神龙应当如何喝水才能避免水灾？n≤10⁶，m≤10⁶。

提示：需要优化算法的时间复杂度。

习题8-24　龙头滴水（Faucet Flow, UVa10366）

图8-35　龙头滴水示意图

x=0的正上方有一个水龙头，以每秒1单位体积的速度往下滴水。x=－1, －3,…, leftx和x=1, 3, 5,…, rightx处各有一个挡板，高度已知。求经过多长时间以后水会流出最左边的挡板或者最右边的挡板。如图8-35所示，leftx=－3，rightx=3，4个挡板高度分别为4, 3, 2, 1，则6秒钟之后水会从最右边的挡板溢出。

输入第一行为两个奇数leftx，rightx（leftx≤－1，rightx≥1），接下来的各个正整数表示从左到右各个挡板的高度。挡板个数不超过1000。

习题8-25　有向图D和E（From D to E and back, UVa11175）

给一个n个结点的有向图D，可以构造一个图E：D的每条边对应E的一个结点（例如，若D有一条边uv，则E有个结点的名字叫uv），对于D的两条边uv和vw，E中的两个结点uv和vw之间连一条有向边。E中不包含其他边。

输入一个m个结点k条边的图E（0≤m≤300），判断是否存在对应的图D。E中各个结点的编号为0～m－1。

提示：虽然题目中m≤300，实际上可以解决的规模远超过这个限制的问题。

习题8-26　找黑圆（Finding [B]lack Circles, Rujia Liu's Present 6, UVa12559）

输入一个h^*w的黑白图像（30≤w，h≤100），你的任务是找出图像中的圆。每个像素都是1^*1的正方形，左上角像素的中心坐标为(0,0)，右下角像素的中心坐标为(w－1,h－1)。对于一个圆，它的圆周穿过（只是接触到像素边界不算）的像素都会被涂黑（用1表示）。没有被任何圆穿过的像素仍然是白色（用0表示）。圆心保证在整点处，半径保证是1～5之间的整数。最多有2％的黑点会变成白点。

提示：方法有多种，尽情发挥创造力吧。

习题8-27　海盗的宝箱（Pirate Chest, ACM/ICPC World Finals 2013, UVa1580）

有一个顶面为m^*n的池塘，已知每个格子(i,j)的水深d(i,j)（1≤i≤m，1≤j≤n，0≤d(i,j)≤10⁹）。要求放一个长和宽分别不超过a和b（但长宽可以交换，高度任意）、体积尽量大的长方体，使得长方体的顶面严格位于水平面之下。注意，池塘里放入长方体后，水面会上升（即使长方体紧紧贴住墙壁）。池塘四周是足够高的墙壁。

如图8-36（b）中放了一个底面为1^*3，高度为1的长方体，体积为3；图8-36（c）中放了一个1^*2^*2的长方体，体积为4。输入保证a^*b不足以覆盖整个池塘。1≤a,b,m,n≤500。

（a）	（b）	（c）

图8-36　水池示意图

习题8-28　打结（Knots, ACM/ICPC ACM/ICPC Jakarta 2012, UVa1624）

有一个圆形的橡皮圈，可以对它进行Self loop和Passing两种操作，如图8-37所示。

图8-37　Self loop和Passing操作

输入一个橡皮圈，判断是否可以由原始的圆形橡皮圈经过重复的两种操作得到。橡皮圈的描述方法如下：首先是两个正整数L和P（L≤10⁶，P≤5000），然后把橡皮圈上的L个位置按顺序编号为0～L－1，接下来是P（1≤P≤5000）个整数对(A_i,B_i)，表示从上往下俯视时位置A_i挡住位置B_i（0≤A_i,B_i＜L）。输入保证0～L－1中的每个位置最多在一个数对中出现。

如图8-38所示，图8-38（a）和图8-38（b）都可以由原始橡皮圈得到，但图8-38（c）不可以。其中图8-38（a）的L=20，P=5，5个数对分别是(0,8)，(2,10)，(4,12)，(15,5)，(18,7)。

（a）	（b）	（c）

图8-38　橡皮圈效果

提示：本题不需要特别的数学知识或算法知识，但需要仔细思考。

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(1) 如果没有公证人，你可以不动声色地换一个数。

(2) 另外，本题还有一些小技巧简化代码，建议读者参考代码仓库。

(3) A[1…P-1]表示子序列A[1]，A[2]，…，A[P-1]。

(4) 因为要求字典序最小解，输出时还有一个贪心过程，详见代码仓库。

(5) A[1…P-1]表示子序列A[1]，A[2]，…，A[P-1]。