9.1　数字三角形

动态规划是一种用途很广的问题求解方法，它本身并不是一个特定的算法，而是一种思想，一种手段。下面通过一个题目阐述动态规划的基本思路和特点。

9.1.1　问题描述与状态定义

数字三角形问题。有一个由非负整数组成的三角形，第一行只有一个数，除了最下行之外每个数的左下方和右下方各有一个数，如图9-1所示。

（a）数字三角形	（b）格子编号

图9-1　数字三角形问题

从第一行的数开始，每次可以往左下或右下走一格，直到走到最下行，把沿途经过的数全部加起来。如何走才能使得这个和尽量大？

【分析】

如果熟悉回溯法，可能会立刻发现这是一个动态的决策问题：每次有两种选择——左下或右下。如果用回溯法求出所有可能的路线，就可以从中选出最优路线。但和往常一样，回溯法的效率太低：一个n层数字三角形的完整路线有2^n－1条，当n很大时回溯法的速度将让人无法忍受。

为了得到高效的算法，需要用抽象的方法思考问题：把当前的位置(i, j)看成一个状态（还记得吗？），然后定义状态(i, j)的指标函数d(i, j)为从格子(i, j)出发时能得到的最大和（包括格子(i, j)本身的值）。在这个状态定义下，原问题的解是d(1, 1)。

下面看看不同状态之间是如何转移的。从格子(i, j)出发有两种决策。如果往左走，则走到(i＋1, j)后需要求“从(i＋1, j)出发后能得到的最大和”这一问题，即d(i＋1, j)。类似地，往右走之后需要求解d(i＋1, j＋1)。由于可以在这两个决策中自由选择，所以应选择d(i＋1,j)和d(i＋1,j＋1)中较大的一个。换句话说，得到了所谓的状态转移方程：

如果往左走，那么最好情况等于(i, j)格子里的值a(i, j)与“从(i＋1, j)出发的最大总和”之和，此时需注意这里的“最大”二字。如果连“从(i＋1,j)出发走到底部”这部分的和都不是最大的，加上a(i, j)之后肯定也不是最大的。这个性质称为最优子结构（optimal substructure），也可以描述成“全局最优解包含局部最优解”。不管怎样，状态和状态转移方程一起完整地描述了具体的算法。

提示9-1：动态规划的核心是状态和状态转移方程。

9.1.2　记忆化搜索与递推

有了状态转移方程之后，应怎样计算呢？

方法1：递归计算。程序如下（需注意边界处理）：

int solve(int i, int j){
  return a[i][j] + (i == n ? 0 : max(solve(i＋1,j),solve(i＋1,j＋1)));
}

这样做是正确的，但时间效率太低，其原因在于重复计算。

图9-2　重叠子问题

如图9-2所示为函数solve(1, 1)对应的调用关系树。看到了吗？solve(3, 2)被计算了两次（一次是solve(2, 1)需要的，一次是solve(2, 2)需要的）。也许读者会认为重复算一两个数没有太大影响，但事实是：这样的重复不是单个结点，而是一棵子树。如果原来的三角形有n层，则调用关系树也会有n层，一共有2ⁿ－1个结点。

提示9-2：用直接递归的方法计算状态转移方程，效率往往十分低下。其原因是相同的子问题被重复计算了多次。

方法2：递推计算。程序如下（需再次注意边界处理）：

int i, j;
for(j = 1; j ＜= n; j＋＋) d[n][j] = a[n][j];
for(i = n－1; i ＞= 1; i——)
  for(j = 1; j ＜= i; j＋＋)
    d[i][j] = a[i][j] ＋ max(d[i＋1][j],d[i＋1][j＋1]);

程序的时间复杂度显然是O(n²)，但为什么可以这样计算呢？原因在于：i是 逆序枚举的，因此在计算d[i][j]前，它所需要的d[i＋1][j]和d[i＋1][j＋1]一定已经计算出来了。

提示9-3：可以用递推法计算状态转移方程。递推的关键是边界和计算顺序。在多数情况下，递推法的时间复杂度是：状态总数×每个状态的决策个数×决策时间。如果不同状态的决策个数不同，需具体问题具体分析。

方法3：记忆化搜索。程序分成两部分。首先用“memset(d,－1,sizeof(d));”把d全部初始化为－1，然后编写递归函数⁽¹⁾：

int solve(int i, int j){
    if(d[i][j] ＞= 0) return d[i][j];
    return d[i][j] = a[i][j] ＋ (i == n ? 0 : max(solve(i＋1,j),solve(i＋1,j＋1)));

上述程序依然是递归的，但同时也把计算结果保存在数组d中。题目中说各个数都是非负的，因此如果已经计算过某个d[i][j]，则它应是非负的。这样，只需把所有d初始化为－1，即可通过判断是否d[i][j]≥0得知它是否已经被计算过。

最后，千万不要忘记在计算之后把它保存在d[i][j]中。根据C语言“赋值语句本身有返回值”的规定，可以把保存d[i][j]的工作合并到函数的返回语句中。

图9-3　记忆化搜索

上述程序的方法称为记忆化（memoization），它虽然不像递推法那样显式地指明了计算顺序，但仍然可以保证每个结点只访问一次，如图9-3所示。

由于i和j都在1～n之间，所有不相同的结点一共只有O(n²)个。无论以怎样的顺序访问，时间复杂度均为O(n²)。从2ⁿ～n²是一个巨大的优化，这正是利用了数字三角形具有大量重叠子问题的特点。

提示9-4：可以用记忆化搜索的方法计算状态转移方程。当采用记忆化搜索时，不必事先确定各状态的计算顺序，但需要记录每个状态“是否已经计算过”。