9.6　训练参考

动态规划是算法竞赛的宠儿——几乎所有算法竞赛中都会出现动态规划的题目。本章虽然也包含一些知识点和理论讲解，但重中之重是那些经典题目（例如，LIS、LCS、最优矩阵链乘、树的重心和TSP等）和例题。本章的例题数量是本书目前为止最多的，难度也是最大的。建议读者先掌握不带星号的例题，然后逐步学习带一个星号的例题和两个星号的例题。有些例题比较复杂，甚至需要反复理解才能掌握。例题列表如表9-2所示。

表9-2　例题列表

下面是一些形形色色的动态规划问题，难度各异。建议读者阅读所有题目，然后认真思考每一道题。对于能写出状态转移方程的题目，尽量编程提交。

习题9-1　最长的滑雪路径（Longest Run on a Snowboard, UVa 10285）

在一个R*C（R,C≤100）的整数矩阵上找一条高度严格递减的最长路。起点任意，但每次只能沿着上下左右4个方向之一走一格，并且不能走出矩阵外。如图9-29所示，最长路就是按照高度25, 24, 23,…, 2, 1这样走，长度为25。矩阵中的数均为0～100。

图9-29　最长路径示例

习题9-2　免费糖果（Free Candies, UVa 10118）

桌上有4堆糖果，每堆有N（N≤40）颗。佳佳有一个最多可以装5颗糖的小篮子。他每次选择一堆糖果，把最顶上的一颗拿到篮子里。如果篮子里有两颗颜色相同的糖果，佳佳就把它们从篮子里拿出来放到自己的口袋里。如果篮子满了而里面又没有相同颜色的糖果，游戏结束，口袋里的糖果就归他了。当然，如果佳佳足够聪明，他有可能把堆里的所有糖果都拿走。为了拿到尽量多的糖果，佳佳该怎么做呢？

习题9-3　切蛋糕（Cake Slicing, ACM/ICPC Nanjing 2007, UVa1629）

有一个n行m列（1≤n，m≤20）的网格蛋糕上有一些樱桃。每次可以用一刀沿着网格线把蛋糕切成两块，并且只能够直切不能拐弯。要求最后每一块蛋糕上恰好有一个樱桃，且切割线总长度最小。如图9-30所示是一种切割方法。

图9-30　蛋糕切法示例

习题9-4　串折叠（Folding, ACM/ICPC NEERC 2002, UVa1630）

给出一个由大写字母组成的长度为n（1≤n≤100）的串，“折叠”成一个尽量短的串。例如，AAAAAAAAAABABABCCD折叠成9(A)3(AB)CCD。折叠是可以嵌套的，例如，NEERCYESYESYESNEERCYESYESYES可以折叠成2(NEERC3(YES))。多解时可以输出任意解。

习题9-5　邮票和信封（Stamps and Envelope Size, ACM/ICPC World Finals 1995, UVa242）

假定一张信封最多贴5张邮票，如果只能贴1分和3分的邮票，可以组成面值1～13以及15，但不能组成面值14。我们说：对于邮票组合{1,3}以及数量上限S=5，最大连续邮资为13。1～13和15的组成方法如表9-3所示。

表9-3　1～3和15的组成方法

输入S（S≤10）和若干邮票组合（邮票面值不超过100），选出最大连续邮资最大的一个组合。如果有多个并列，邮票组合中邮票的张数应最多。如果还有并列，邮票从大到小排序后字典序应最大。

习题9-6　电子人的基因（Cyborg Genes, UVa 10723）

输入两个A～Z组成的字符串（长度均不超过30），找一个最短的串，使得输入的两个串均是它的子序列（不一定连续出现）。你的程序还应统计长度最短的串的个数。例如，ABAAXGF和AABXFGA的最优解之一为AABAAXGFGA，一共有9个解。

习题9-7　密码锁（Locker, Tianjin 2012, UVa1631）

有一个n（n≤1000）位密码锁，每位都是0～9，可以循环旋转。每次可以让1～3个相邻数字同时往上或者往下转一格。例如，567890->567901（最后3位向上转）。输入初始状态和终止状态（长度不超过1000），问最少要转几次。例如，111111到222222至少转2次，由896521到183995则要转12次。

习题9-8　阿里巴巴（Alibaba, ACM/ICPC SEERC 2004, UVa1632）

直线上有n（n≤10000）个点，其中第i个点的坐标是x_i，且它会在d_i秒之后消失。Alibaba可以从任意位置出发，求访问完所有点的最短时间。无解输出No solution。

习题9-9　仓库守卫（Storage Keepers, UVa10163）

你有n（n≤100）个相同的仓库。有m（m≤30）个人应聘守卫，第i个应聘者的能力值为P_i（1≤P_i≤1000）。每个仓库只能有一个守卫，但一个守卫可以看守多个仓库。如果应聘者i看守k个仓库，则每个仓库的安全系数为P_i/K的整数部分。没人看守的仓库安全系数为0。

你的任务是招聘一些守卫，使得所有仓库的最小安全系数最大，在此前提下守卫的能力值总和（这个值等于你所需支付的工资总和）应最小。

习题9-10　照亮体育馆（Barisal Stadium, UVa10641）

输入一个凸n（3≤n≤30）边形体育馆和多边形外的m（1≤m≤1000）个点光源，每个点光源都有一个费用值。选择一组点光源，照亮整个多边形，使得费用值总和尽量小。如图9-31所示，多边形ABCDEF可以被两组光源{1,2,3}和{4,5,6}照亮。光源的费用决定了哪组解更优。

图9-31　被点光源照亮的多边形

习题9-11　禁止的回文子串（Dyslexic Gollum, ACM/ICPC Amritapuri 2012, UVa1633）

输入正整数n和k（1≤n≤400，1≤k≤10），求长度为n的01串中有多少个不含长度至少为k的回文连续子串。例如，n=k=3时只有4个串满足条件：001, 011, 100, 110。

习题9-12　保卫Zonk（Protecting Zonk, ACM/ICPC Dhaka 2006, UVa12093）

给定一个有n（n≤10000）个结点的无根树。有两种装置A和B，每种都有无限多个。

• 在某个结点X使用A装置需要C1（C1≤1000）的花费，并且此时与结点X相连的边都被覆盖。
• 在某个结点X使用B装置需要C2（C2≤1000）的花费，并且此时与结点X相连的边以及与结点X相连的点相连的边都被覆盖。

求覆盖所有边的最小花费。

习题9-13　叠盘子（Stacking Plates, ACM/ICPC World Finals 2012, UVa1289）

有n（1≤n≤50）堆盘子，第i堆盘子有h_i个盘子（1≤h_i≤50），从上到下直径不减。所有盘子的直径均不超过10000。有如下两种操作。

• split：把一堆盘子从某个位置处分成上下两堆。
• join：把一堆盘子a放到另一堆盘子b的顶端，要求是a底部盘子的直径不超过b顶端盘子的直径。

你的任务是用最少的操作把所有盘子叠成一堆。

习题9-14　圆和多边形（Telescope, ACM/ICPC Tsukuba 2000, UVa1543）

给你一个圆和圆周上的n（3≤n≤40）个不同点。请选择其中的m（3≤m≤n）个，按照在圆周上的顺序连成一个m边形，使得它的面积最大。例如，在图9-32中，右上方的多边形最大。

图9-32　圆和多边形问题示意图

习题9-15　学习向量（Learning Vector, ACM/ICPC Dhaka 2012, UVa12589）

输入n个向量(x,y)（0≤x，y≤50），要求选出k个，从(0,0)开始画，使得画出来的折线与x轴围成的图形面积最大。例如，4个向量是(3,5), (0,2), (2,2), (3,0)，可以依次画(2,2), (3,0), (3,5)，围成的面积是21.5，如图9-33所示。输出最大面积的两倍。1≤k≤n≤50。

习题9-16　野餐（The Picnic, ACM/ICPC NWERC 2002, UVa1634）

输入m（m≤100）个点，选出其中若干个点，以这些点为顶点组成一个面积最大的凸多边形，使得内部没有输入点（边界上可以有）。输入点的坐标各不相同，且至少有3个点不共线，如图9-34所示。

图9-33　向量所围面积	图9-34　输入点

习题9-17　佳佳的筷子（Chopsticks, UVa 10271）

中国人吃饭喜欢用筷子。佳佳与常人不同，他的一套筷子有3只，两根短筷子和一只比较长的（一般用来穿香肠之类的食物）。两只较短的筷子的长度应该尽可能接近，但是最长那只的长度无须考虑。如果一套筷子的长度分别是A，B，C（A≤B≤C），则用(A-B)²的值表示这套筷子的质量，这个值越小，这套筷子的质量越高。

佳佳请朋友吃饭，并准备为每人准备一套这种特殊的筷子。佳佳有N（N≤1000）只筷子，他希望找到一种办法搭配好K+8套筷子，使得这些筷子的质量值和最小。保证筷子足够，即3K+24≤N。

提示：需要证明一个猜想。

习题9-18　棒球投手（Pitcher Rotation, ACM/ICPC Kaosiung 2006, UVa1379）

你经营着一支棒球队。在接下来的g+10天中会有g（3≤g≤200）场比赛，其中每天最多一场比赛。你已经分析出你的n（5≤n≤100）个投手中每个人对阵所有m（3≤m≤30）个对手的胜率（一个n*m矩阵），要求给出作战计划（即每天使用哪个投手），使得总获胜场数的期望值最大。注意，一个投手在上场一次后至少要休息4天。

提示：如果直接记录前4天中每天上场的投手编号1～n，时间和空间都无法承受。

习题9-19　花环（Garlands, ACM/ICPC CERC 2009, UVa1443）

你的任务是用n（n≤40000）条等长细绳组成一个花环。每条细绳上都有一颗珍珠，重量为w_i（1≤w_i≤10000）。花环应由m（2≤m≤10000）个片段组成，每个片段必须包含连续的偶数条细绳。每个片段的一半称为“半段”（两个半段包含相同数量的细绳），每个“半段”最多能有d（1≤d≤10000）条细绳。你的任务是让最重的半段尽量轻。如图9-35所示，12条细绳的最优解是如下的3个片段，最重的半段的重量为6（左数第1, 4, 6个半段）。

图9-35　12条细绳的最优解

习题9-20　山路（Mountain Road, NWERC 2009, UVa12222）

有一条狭窄的山路只有一个车道，因此不能有两辆相反方向的车同时驶入。另外，为了确保安全，对于山路上的任意一点，相邻的两辆同向行驶的车通过它的时间间隔不能少于10秒。给定n（1≤n≤200）辆车的行驶方向、到达时刻（对于往右开的车来说是到达山路左端点的时刻，而对于往左开的车来说是指到达右端点的时刻），以及行驶完山路的最短时间（为了保证安全，实际行驶时间可以高于这个值），输出最后一辆车离开山路的最早时刻。输入保证任意两辆车的到达时刻均不相同。

提示：本题的主算法并不难，但是实现细节需要仔细推敲。

习题9-21　周期（Period, ACM/ICPC Seoul 2006, UVa1371）

两个串的编辑距离为进行的修改、删除和插入操作次数的最小值（每次一个字符）。如图9-36所示，A=abcdefg和B=ahcefig的编辑距离为3。

图9-36　编辑距离

如果x可以分成若干部分，使得每部分和y的编辑距离都不超过k，则y是x的k-近似周期。例如，x=abcdabcabb，y=abc，x可以分解为abcd+abc+abb，3部分和y的编辑距离分别为1, 0, 1，因此y是x的1-近似周期。

输入由小写字母组成的x和y，求最小的k使得y是x的k-近似周期。|y|≤50，|x|≤5000。

提示：直接想出的动态规划算法很可能太慢，要想办法降低时间复杂度。

习题9-22　俄罗斯套娃（Matryoshka, ACM/ICPC World Finals 2013, UVa 1579）

桌上有n（n≤500）个套娃排成一行，你的任务是把它们套成若干个套娃组，使得每个套娃组内的套娃编号恰好是从1开始的连续编号。操作规则如下：

• 只能把小的套在大的里面，大小相等的套娃相互不能套。
• 每次只能把两个相邻的套娃组合并成一个套娃组。
• 一旦有两个套娃属于同一个组，它们永远都属于同一个组（只有与相邻组合并的过程中会临时拆散）。

执行合并操作的前后，所有套娃都是关闭的。为了合并两个套娃组，你需要交替地把一些套娃打开、重新套起来、关闭。例如，为了合并[1, 2, 6]和[4]，需要打开套娃6和4；为了合并[1, 2, 5]和[3, 4]，需要打开套娃5, 4, 3（只有先打开4才能打开3）。要求打开/关闭的总次数最少。无解输出impossible。例如，“1 2 3 2 4 1 3”需要打开7次，如表9-4所示。

表9-4　“1 2 3 2 4 1 3”需打开7次

习题9-23　优化最大值电路（Minimizing Maximizer, ACM/ICPC CERC 2003, UVa1322）

所谓Maximizer，就是一个n输入1输出的硬件电路，它可以用若干个串行Sorter来实现，其中每个Sorter(i,j)表示把第i～j个输入从小到大排序。最后一个Sorter的第n个输出就是整个Maximizer的输出。输入一个由m个Sorter组成的Maximizer，保留尽量少的Sorter（顺序不变），使得Maximizer仍能正常工作。n≤50000，m≤500000。

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(1) 注意这个函数的工作方式并不像它表面显示的那样——如果把-1改成-2，并不是在把所有d值都初始化为-2！请只用0和-1作为“批量赋值”的参数。

(2) 输出的最后会有一个多余空格，并且没有回车符。在使用时，应在主程序调用print_ans后加一个回车符。如果比赛明确规定行末不允许有多余空格，则可以像前面介绍的那样加一个变量first来帮助判断。

(3)  如果状态比较复杂，推荐用STL中的map而不是普通数组保存状态值。这样，判断状态S是否算过只需用if(d.count(S))即可。

(4) 第二个人走到i＋1时本应转移到d(i,i＋1)，但是根据此处规定，必须写成d(i＋1,i)。

(5) 还有《劲歌金曲2》和《劲歌金曲3》，但本题不予考虑。

(6) 显然大多数歌的长度都大于3分钟，但是KTV可以“切歌”，因此这里的“长度”实际上是指“想唱的时间长度”。

(7) 判断回文也可以用动态规划，读者不妨一试。

(8) 虽然思路很清晰，但具体实现还需要斟酌，建议读者独立完成。

(9) 如何判断i-j是否为多边形的对角线？限于篇幅，本书没有对计算几何进行专门讨论，请读者参考《算法竞赛入门经典——训练指南》的几何部分。

(10) 所谓NPC，即NP-完全问题（NP-Complete Problem），是指一类目前还没有找到多项式算法的问题。它的确切定义超出了本书的范围。

(11) 完整实现见代码仓库。

(12) 其实还有一个更简单的做法，既不需要高精度，也不需要“反着想”，参见代码仓库。

(13) 本题的解法看上去比较常规，但是在NWERC这样较高水平的比赛中，却没有队伍做出来。

(14) 证明思路是从定向方案构造分层图。先把所有路径的起点作为第0层。

(15) 准确地说这不是动态规划，而是组合数学中的递推，因为本题不是最优化问题，而是计数问题。不过解决两个问题的思路是相同的，所以很多人把组合数学中的递推也算作动态规划。

(16) 本题在实现上有一些细节需要注意，建议参考代码仓库。