10.5　训练参考

数学题目的特点是：思维难度往往远大于编程难度。尽管如此，也有一些程序实现细节不容忽视，例如，整数溢出和精度误差。本章的例题很多，不过多数题目的难度不大，重点在于帮助读者巩固相关的知识点。建议读者先学会所有不加星号的例题，然后逐步弄懂有星号的例题。本章例题列表如表10-6所示。

表10-6　例题列表

本章的习题是本书中数量最多的，不过多数习题的难度不大，主要目的是巩固知识。因为大多数题目的描述比较简单，建议读者阅读所有题目，并选择感兴趣的题目思考。

习题10-1　砌砖（Add Bricks in the Wall, UVa11040）

45块石头按照如图10-17所示的方式排列，每块石头上有一个整数。

图10-17　45块石头排列方式

除了最后一行外，每个石头上的整数等于支撑它的两个石头上的整数之和。目前只有奇数行的左数奇数个位置上的数已知，你的任务是求出其余所有整数。输入保证有唯一解。

习题10-2　勤劳的蜜蜂（Bee Breeding, ACM/ICPC World Finals 1999, UVa808）

如图10-18所示，输入两个格子的编号a和b（a,b≤10000），求最短距离。例如，19和30的距离为5（一条最短路是19-7-6-5-15-30）。

习题10-3　角度和正方形（Angles and Squares, ACM/ICPC Beijing 2005, UVa1643）

如图10-19所示，第一象限里有一个角，把n（n≤10）个给定边长的正方形摆在这个角里（角度任意），使得阴影部分面积尽量大。

图10-18　勤劳的蜜蜂问题示意图	图10-19　角度和正方形问题示意图

习题10-4　素数间隔（Prime Gap, ACM/ICPC Japan 2007, UVa1644）

输入一个整数n，求它后一个素数和前一个素数的差值。输入是素数时输出0。n不超过1299709（第100000个素数）。例如，n=27时输出29-23=6。

习题10-5　不同素数之和（Sum of Different Primes, ACM/ICPC Yokohama 2006, UVa1213）

选择K个质数，使它们的和等于N。给出N和K（N≤1120，K≤14），问有多少种满足条件的方案？例如，n=24，k=2时有3种方案：5+19=7+17=11+13=24。注意，1不是素数，因此n=k=1时答案为0。

习题10-6　连续素数之和（Sum of Consecutive Prime Numbers, ACM/ICPC Japan 2005, UVa1210）

输入整数n（2≤n≤10000），有多少种方案可以把n写成若干个连续素数之和？例如，41可由3种方案：2+3+5+7+11+13，11+13+17和41写成。

习题10-7　几乎是素数（Almost Prime Numbers, UVa10539）

输入两个正整数L、U（L≤U＜10¹²），统计区间[L,U]的整数中有多少个数满足：它本身不是素数，但只有一个素因子。例如，4、27都满足条件。

习题10-8　完全P次方数（Perfect Pth Powers, UVa10622）

对于整数x，如果存在整数b使得x=b^p，则说x是一个完全p次方数。输入整数n，求出最大的整数p，使得n是完全p次方数。n的绝对值不小于2，且n在32位带符号整数范围内。例如，n=17，p=1；n=1073741824，p=30；n=25，p=2。

习题10-9　约数（Divisors, UVa294）

输入两个整数L、U（1≤L≤U≤10⁹，U-L≤10000），统计区间[L,U]的整数中哪一个的正约数最多。如果有多个，输出最小值。

习题10-10　统计有根树（Count, Chengdu 2012, UVa1645）

输入n（n≤1000），统计有多少个n结点的有根树，使得每个深度中所有结点的子结点数相同。例如，n=4时有3棵，如图10-20所示；n=7时有10棵。输出数目除以109+7的余数。

图10-20　n=4时的有根树

习题10-11　圈图的匹配（Edge Case, ACM/ICPC NWERC 2012, UVa1646）

n（3≤n≤10000）个结点组成一个圈，求匹配（即没有公共点的边集）的个数。例如，n=4时有7个，如图10-21所示，n=100时有792070839848372253127个。

图10-21　n=4时匹配的个数

习题10-12　汉堡（Burger, UVa557）

有n个牛肉堡和n个鸡肉堡给2n个孩子吃。每个孩子在吃之前都要抛硬币，正面吃牛肉煲，反面吃鸡肉煲。如果剩下的所有汉堡都一样，则不用抛硬币。求最后两个孩子吃到相同汉堡的概率。

习题10-13　H(n)（H(n), UVa11526）

输入n（在32位带符号整数范围内），计算下面C++函数的返回值：

long long H(int n){
   long long res = 0;
   for( int i = 1; i <= n; i=i+1 ){
      res = (res + n/i);
   }
   return res;
}

例如，n=5、10时答案分别为10和27。

习题10-14　标准差（Standard Deviation, UVa10886）

下面是一个随机数发生器。输入seed的初始值，你的任务是求出它得到的前n个随机数标准差，保留小数点后5位（1≤n≤10000000，0≤seed<2⁶⁴）。

unsigned long long seed;
long double gen()
{
    static const long double Z = ( long double )1.0 / (1LL<<32);
    seed >>= 16;
    seed &= ( 1ULL << 32 ) - 1;
    seed *= seed;
    return seed * Z;
}

习题10-15　零和一（Zeros and Ones, ACM/ICPC Dhaka 2004, UVa12063）

给出n、k（n≤64，k≤100），有多少个n位（无前导0）二进制数的1和0一样多，且值为k的倍数？

习题10-16　计算机变换（Computer Transformations, ACM/ICPC SEERC 2005, UVa1647）

初始串为一个1，每一步会将每个0改成10，每个1改成01，因此1会依次变成01, 1001, 01101001,…输入n（n≤1000），统计n步之后得到的串中，“00”这样的连续两个0出现了多少次。

习题10-17　H-半素数（Semi-prime H-numbers, UVa11105）

所有形如4n+1（n为非负整数）的数叫H数。定义1是唯一的单位H数，H素数是指本身不是1，且不能写成两个不是1的H数的乘积。H-半素数是指能写成两个H素数的乘积的H数（这两个数可以相同也可以不同）。例如，25是H-半素数，但125不是。

输入一个H数h（h≤1000001），输出1～h之间有多少个H-半素数。

习题10-18　一个研究课题（A Research Problem, UVa10837）

输入正整数m（m≤10⁸），求最小的正整数n，使得φ(n)=m。输入保证n小于200000000。

习题10-19　蹦极（Bungee Jumping, UVa10868）

James Bond为了摆脱敌人的追击，逃到了一座桥前。桥上正好有一条蹦极绳，于是他打算把它拴到腿上，纵身跳下桥，落地后切断绳子，继续逃生。已知绳子的正常长度为l，Bond的体重为w，桥的高度为s，你的任务是替James Bond判断能否用这种方法逃生。

当从桥上跳下后，绳子绷紧前Bond将做自由落体运动（重力按9.81w计），而绷紧后绳子会有向上的拉力，大小为k*Δl，其中Δl为绳子当前长度和正常长度之差。当且仅当Bond可以到达地面，且落地速度不超过10米/秒时，才认为他安全着落。

输入每组数据包含4个非负整数k, l, s, w（s<200）。对于每组数据，如果可以安全着地，输出“James Bond survices.”，如果到不了地面，输出“Stuck in the air.”，如果到达地面速度太快，输出“Killed by the impact.”

习题10-20　商业中心（Business Center, NEERC 2009, UVa1648）

商业中心是一幢无限高的大楼。在一楼有m座电梯，每座电梯只有两个键：上、下。对于第i座电梯，每按一次“上”会往上走u_i层楼，每按一次“下”会往下走d_i层楼。你的任务是从一楼开始选一个电梯，恰好按n次按钮，到达一个尽量低（一楼除外）的楼层。中途不能换乘电梯。1≤n≤1000000, 1≤m≤2000，1≤u_i,d_i≤1000。

习题10-21　二项式系数（Binomial coefficients, ACM/ICPC NWERC 2011, UVa1649）

输入m（2≤m≤10¹⁵），求所有的(n,k)使得C(n,k)=m。输出按照n升序排列，当n相同时k按升序排列。

习题10-22　飞机环球（Planes Around the World, UVa10640）

有一种飞机，加满油能环游地球a/b圈。如果要使得一架飞机能够环游地球一圈，那么必须要使用其他若干架同种飞机，在某处为它空中加油。

假设a = 1，b = 2，5架飞机可以环游。

首先3架飞机一起从A走到C，飞机3给另外两架加满油，然后开始返程。当飞机1和2到达D的同时飞机3回到A。然后飞机2给飞机1加满油，回到A点。

接下来，飞机4和5逆时针出发，其中飞机4在F处等待，飞机5在E处等待，直到飞机1到达E。然后飞机5给飞机1加油，使得二者都能恰好飞到F。然后飞机4给飞机1和飞机5加油，三者都恰好飞回A，如图10-22所示。

图10-22　飞机环球问题示意图

假设：

• 只有飞机1环游地球。
• 有A架飞机和飞机1同时出发，同向飞行，称为正向飞机。每艘正向飞机都在某个位置处为其他飞机加油，然后折返。
• 有B架飞机于不同时间反向出发，称为反向飞机。每架反向飞机会停在一个地方等待飞机1（及其他同行飞机）。等到之后为其他飞机加油，然后折返。
• 除了飞机1之外的其他飞机恰好为其他飞机加一次油，使得每个其他飞机得到相同多的油量。

输入a、b，输出最少需要时用多少架飞机才能完成环游地球。例如a = 1，b = 2时需要5架。无解输出-1。

习题10-23　Hendrie序列（Hendrie Sequence, UVa10479）

Hendrie序列是一个自描述序列，定义如下：

• H(1)=0。
• 如果把H中的每个整数x变成x个0后面跟着x+1，则得到的序列仍然是H（只是少了第一个元素）。

因此，H序列的前几项为：0,1,0,2,1,0,0,3,0,2,1,1,0,0,0,4,1,0,0,3,0,……输入正整数n（n<2⁶³），求H(n)。

习题10-24　幂之和（Sum of Powers, UVa766）

对于正整数k，可以定义k次方和：

可以把它写成下面的形式。当M取最小可能的正整数时，所有系数a_i都是确定的。

输入k（0≤k≤20），输出。例如，k=2，输出6, 2, 3, 1, 0。

习题10-25　因子（Factors, ACM/ICPC World Finals 2013, UVa1575）

算术基本定理：每一个大于1的正整数都有唯一的方式写成若干个素数的乘积。不过如果允许把这些素数重排，就有多种表示方式：

10 = 2 * 5 = 5 * 2, 20 = 2 * 2 * 5 = 2 * 5 * 2 = 5 * 2 * 2

令f(k)为正整数k的写法个数，如f(10)=2，f(20)=3。对于正整数n，可以证明一定有整数k使得f(k)=n。你的任务是求出最小的k。n<2⁶³。

习题10-26　方形花园（Square Garden, UVa12520）

在L*L（L≤10⁶）网格里涂色n（n≤L²）个格子，要求涂色格子的轮廓线周长尽量大。例如，图10-22中为L=3，n=8的两组解，图10-23（a）的周长为16，图10-23（b）的周长为12。

（a）	（b）

图10-23　L=3，n=8的两组解

习题10-27　互联（Interconnect, ACM/ICPC NEERC 2006, UVa1390）

输入n个点m条边的无向图G（n≤30，m≤1000）。每次随机加一条非自环的边(u, v)（加完后可以出现重边）。添加每条边的概率是相等的，求使G连通的期望操作次数。

习题10-28　数字串（Number String, ACM/ICPC Changchun 2011, UVa1650）

每个排列都可以算出一个特征，即从第二个数开始每个数和前面一个数相比是增加(I)还是减少(D)。例如，{3,1,2,7,4,6,5}的特征是DIIDID。输入一个长度为n-1（2≤n≤1001）的字符串（包含字符I, D和?），统计1～n有多少个排列的特征和它匹配（其中?表示I和D都符合）。输出答案除以1000000007的余数。

习题10-29　名次表的变化（Fantasy Cricket, UVa11982）

如图10-24所示为一个足球比赛的名次表，给出了每个队伍相对上一轮的排名变化。例如：

图10-24　足球比赛名次表

这代表队伍A的名次提高了，B降低了，C提高了，D降低了。用U表示排名上升，D表示降低，E表示不变，则上表可以用UDUD表示。经过计算可知，上一轮的名次表有两种可能：BADC和BDAC（假定本轮和上一轮的名次都没有并列）。

输入这样一个UDE组成的序列（长度不超过1000），求上一轮名次有多少种可能。输出答案除以10⁹+7的余数。

习题10-30　守卫（Guard, ACM/ICPC Dhaka 2011, UVa12371）

在n*n棋盘上放2n个守卫，使得每行每列均恰好有两个守卫，且一个格子里最多只有一个守卫。如图10-25所示是两种方法，其中图10-25（a）的守卫形成一个大圈，图10-25（b）中形成两个小圈。

（a）	（b）

图10-25　两种守卫方法

输入n、k（2≤n≤105，1≤k≤min(n,50)），输出恰好包含k个圈的方案总数。例如，n=2，k=1答案为1；n=3，k=1，答案为6；n=4，k=1，答案为72；n=4，k=2，答案为18。

习题10-31　守卫II（Guards II, ACM/ICPC Dhaka 2012, UVa12590）

在n行m列的棋盘里放k个车，使得边界格子都被攻击到。输出方案总数除以10⁹+7的余数。n,m,k≤100。输入最多包含20000组数据。

习题10-32　汉诺塔（Hanoi Towers, ACM/ICPC NEERC 2007, UVa1414）

Hanoi塔问题有一种构造解法：把6种移动（AB,AC,BA,BC,CA,CB）排序后选择第一个能用的操作，前提是不能连续移动同一个盘子。给出n（n≤30）和6种移动的顺序，求解Hanoi问题的步数。最终所有盘子可以都在B也可以都在C。例如，对于n=2，排序为AB, BA, CA, BC, CB, AC，一共需要5步。

习题10-33　二元运算（Binary Operation, ACM/ICPC NEERC 2010, UVa1651）

给定正整数a≤b，你的任务是计算的值，其中的计算方法是这样的：首先，如果a和b的位数不同，位数较少的一个前面补0；然后逐位执行⊙操作。例如，当⊙表示“加起来模10”时，的计算方法如下：

操作符是左结合的，因此从左到右计算即可。

输入⊙的运算表（一个10*10矩阵，表示0⊙0, 0⊙1,…, 9⊙9的结果，其中0⊙0保证为0）和a, b（0≤a≤b≤10¹⁸）的值，输出所求结果。

习题10-34　记住密码（Password Remembering, ACM/ICPC Dhaka 2009, UVa12212）

输入正整数A、B（A≤B<2⁶⁴），求有多少个整数n满足：n在A和B之间（即A≤n≤B），且n翻转之后也在A和B之间。1203翻转以后为3021，1050翻转以后是501。

习题10-35　Fibonacci单词（Fibonacci Word, ACM/ICPC World Finals 2012, UVa1282）

输入非空01串p和n（0≤n≤100），求p在F(n)中出现几次。p的长度不超过100000。

习题10-36　Fibonacci进制（Fibonacci System, ACM/ICPC NEERC 2008, UVa1652）

每个正整数都可以写成，其中a_n=1，F_i就是第i个Fibonacci数，然后用作为N的Fibonacci进制表示。规定不能出现两个连续的1。例如，1～7的Fibonacci进制表示分别为：1, 10, 100, 101, 1000, 1001, 1010。

把所有自然数的Fibonacci进制表示拼起来，会得到一个长长的串110100101100010011010…。输入n n（n≤10¹⁵），统计前n位有多少个1。

习题10-37　倍数问题（Yet Another Multiple Problem, Chengdu 2012, UVa1653）

输入一个整数n（1≤n≤10000）和m个十进制数字，找n的最小倍数，其十进制表示中不含这m个数字中的任何一个。

提示：需要建一张图，结点i代表除以n的余数等于i。巧妙地利用第6章学过的BFS树可以简洁地解决这个问题。

习题10-38　正多边形（Regular Polygon, UVa10824）

给出圆周上的n（n≤2000）个点，选出其中的若干个组成一个正多形，有多少种方法？输出每行包含两个整数S和F，表示有F种选法得到正S边形。各行应按S从小到大排序。

习题10-39　圆周上的三角形（Circum Triangle, UVa11186）

在一个圆周上有n（n≤500）个点。不难证明，其中任意3个点都不共线，因此都可以组成一个三角形。求这些三角形的面积之和。

习题10-40　实验法计算概率（Probability Through Experiments, ACM/ICPC Hatyai 2012, UVa12535）

输入圆的半径和圆上n（n≤20000）个点的极角，任选3点能组成多少个锐角三角形？

习题10-41　整数序列（A Sequence of Numbers, ACM/ICPC Chengdu 2007, UVa1406）

输入n个整数，执行Q个操作（n≤10⁵，Q≤200000）。有两种操作：

• ADD d：把所有数加上一个定值d。
• QUERY i：统计有多少个数的二进制表示法中第i位上是1，并输出。

习题10-42　网格中的三角形（Triangles in the Grid, UVa12508）

一个n行m列的网格有n+1条横线和m+1条竖线。任选3个点，可以组成很多三角形。其中有多少个三角形的面积位于闭区间[A,B]内？1≤n,m≤200，0≤A<B≤nm。

习题10-43　整数对（Pair of Integers, ACM/ICPC NEERC 2001, UVa1654）

考虑一个不含前导0的正整数X，把它去掉一个数字以后得到另外一个数Y。输入X+Y的值N（1≤N≤10⁹），输出所有可能的等式X+Y=N。例如，N=34有两个解：31+3=34；27+7=34。

习题10-44　选整数（K-Multiple Free Set, UVa11246）

给定正整数k，从1～n的整数中选出尽量多的整数，使得没有一个整数是另一个整数的k倍。例如，n=10，k=2，最多可以选6个：1,3,4,5,7,9。1≤n≤10⁹，2≤k≤100。

习题10-45　带符号二进制（Power Signs, UVa11166）

每个整数都可以写成二进制。现将二进制变一下：每个数位上可以是0和1，还可以是-1。例如，13可以写成(1,0,0,-1,-1)=2⁴-2¹-2⁰。在这种进位制下，正整数的表示方法不唯一，例如，7可以写成(1,1,1)或者(1,0,0,-1)。你的任务是找一种非0数字最少的表示法。

输入每组数据第一行为用二进制表示的正整数n（n≤2⁵⁰⁰⁰），保证不含前导0。对于每组数据，输出非0数字最小的表示法（0表示0，+表示1，-表示-1）。如果有多解，输出字典序最小的。

习题10-46　抽奖（Honorary Tickets, UVa11895）

在一次抽奖活动中，有n（1≤n≤10⁵）个抽奖箱，其中第i个箱子里有t_i（t_i>0）个信封，其中li个里面有奖。所有人依次抽奖（即自主选择一个抽奖箱，然后随机抽一个信封），每次抽完后的空信封放回去。假设每个人都知道上述数据，并且足够聪明，求第k个人抽到奖的概率（用最简分数表示，保证分子和分母都在32位带符号整数范围内）。注意，每个人抽到奖之后只会默默地将它拿出，其他人并不会知道，因此不会改变既定的策略。

习题10-47　随机数（Randomness, UVa11429）

你有一个随机数发生器（RNG），可以得到1～R（2≤R≤1000）之间的随机整数（每个整数的概率均为1/R）。现在你希望用它在N（2≤N≤1000）个事件中随机选择一个，使得事件i的概率P_i等于给定的有理数a_i/b_i（1≤a_i<b_i≤1000）。你的任务是设计一个RNG使用算法，使得对RNG的调用次数的数学期望尽量小。可以多次使用这个RNG。

例如，当R=2，N=4，时，则只需调用两次RNG，一共有4种可能的结果，分别对应一个事件。

习题10-48　考试（Exam, ACM/ICPC Chengdu 2012, UVa1655）

设f(x)为满足ab|x的(a,b)个数。输入n（1≤n≤10¹¹），求f(1)+f(2)+…+f(n)。例如，（即(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,6),(6,1),(2,3),(3,2)），因此n=6时输出25。

习题10-49　指数塔（Exponential Towers, ACM/ICPC NWERC 2013, UVa1656）

用“^”来表示指数运算，即a^b=a^b，例如，256=2^2^3=4^2^2（注意“^”是右结合的，即2^2^3表示2^(2^3)）。定义这样的表达式为“高度为k的指数塔”，其中k>1，且所有整数a_i>1。输入一个高度为3的指数塔a^b^c（1≤a,b,c≤9585），统计有多少个高度至少为3的指数塔的值等于a^b^c。注意，9585这个常数可以保证输出小于2⁶³。

习题10-50　排列（Permutation, UVa11303）

输入一个长度为m的序列，每个元素均为1～n的正整数，并且不含相同元素。找出1～n的排列中有哪些排列包含输入子序列（不一定连续出现），求出字典序第k小的。例如，若输入子序列为1, 3, 2, n=4，则一共有4个排列：1,3,2,4；1,3,4,2；1,4,3,2；4,1,3,2，它们的字典序分别为第1，2，3，4小。1≤n≤250，1≤m≤n。

习题10-51　游戏（Game, ACM/ICPC ACM/ICPC NEERC 2003, UVa1657）

有这样一个游戏：裁判先公布一个正整数n（2≤n≤200），然后在1～n中选两个不同的整数x和y（x<y），把x+y告诉S先生，把x*y告诉P先生，然后依次循环S先生和P先生是否知道这两个数是几（总是先问S先生）。例如：

裁判：n=10（然后悄悄告诉S：x+y=9, x*y=18）。

S先生：不知道x和y是多少。

P先生：不知道x和y是多少。

S先生：不知道x和y是多少。

P先生：不知道x和y是多少。

S先生：知道了。x=3，y=6。

两人一共说了m次“不知道”后，下一个人算出了答案。已知S和P都非常聪明且精于心算，你的任务是根据n和m（0≤m≤100）计算出所有可能的(x,y)。

例如，n=10，m=4时有3个解：(2,5), (3,6), (3,10)。

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(1) 如果g=0，意味着a或b等于0，可以特殊判断。