11.1　再谈树

在第6章中，我们第一次接触到二叉树；后来，又接触到了其他树状结构，如解答树、BFS树。本节将继续讨论“树”这一话题。

有n个顶点的树具有以下3个特点：连通、不含圈、恰好包含n-1条边。有意思的是，具备上述3个特点中的任意两个，就可以推导出第3个，有兴趣的读者不妨试着证明一下。

11.1.1　无根树转有根树

图11-1　无根树转有根树

输入一个n个结点的无根树的各条边，并指定一个根结点，要求把该树转化为有根树，输出各个结点的父结点编号。n≤10⁶，如图11-1所示。

【分析】

树是一种特殊的图，因此很容易想到用邻接矩阵表示。可惜，n个结点的图对应的邻接矩阵要占用n²个元素的空间，开不下。怎么办呢？用vector数组即可。由于n个结点的树只有n-1条边，vector数组实际占用的空间与n成正比。

vector<int> G[maxn];
void read_tree() {
  int u, v;
  scanf("%d", &n);
  for(int i = 0; i < n-1; i++) {
    scanf("%d%d", &u, &v);
    G[u].push_back(v);
    G[v].push_back(u);
  }
}

转化过程如下：

void dfs(int u, int fa) {          //递归转化以u为根的子树，u的父结点为fa
  int d = G[u].size();            //结点u的相邻点个数
  for(int i = 0; i < d; i++) {
    int v = G[u][i];               //结点u的第i个相邻点v
    if(v != fa) dfs(v, p[v] = u);    //把v的父结点设为u，然后递归转化以v为根的子树
  }
}

主程序中设置p[root] = -1（表示根结点的父结点不存在），然后调用dfs(root, -1)即可。初学者最容易犯的错误之一就是忘记判断v是否和其父结点相等。如果忽略，将引起无限递归。

11.1.2　表达式树

图11-2　表达式树

二叉树是表达式处理的常用工具。例如，a+b*(c-d)-e/f可以表示成如图11-2所示的二叉树。

其中，每个非叶结点表示一个运算符，左子树是第一个运算数对应的表达式，而右子树则是第二个运算数对应的表达式。如何给一个表达式建立表达式树呢？方法有很多，这里只介绍一种：找到“最后计算”的运算符（它是整棵表达式树的根），然后递归处理。下面是程序：

const int maxn = 1000;
int lch[maxn], rch[maxn]; char op[maxn];     //每个结点的左右子结点编号和字符
int nc = 0;         //结点数
int build_tree(char* s, int x, int y) {
  int i, c1=-1, c2=-1, p=0;
  int u;
  if(y-x == 1){         //仅一个字符，建立单独结点
    u = ++nc;
    lch[u] = rch[u] = 0; op[u] = s[x];
    return u;
  }
  for(i = x; i < y; i++) {
    switch(s[i]) {
      case '(': p++; break;
      case ')': p--; break;
      case '+': case '-': if(!p) c1=i; break;
      case '*': case '/': if(!p) c2=i; break;
    }
  }
  if(c1 < 0) c1 = c2;     //找不到括号外的加减号，就用乘除号
  if(c1 < 0) return build_tree(s, x+1, y-1);     //整个表达式被一对括号括起来
  u = ++nc;
  lch[u] = build_tree(s, x, c1);
  rch[u] = build_tree(s, c1+1, y);
  op[u] = s[c1];
  return u;
}

注意上述代码是如何寻找“最后一个运算符”的。代码里用了一个变量p，只有当p=0时才考虑这个运算符。为什么呢？因为括号里的运算符一定不是最后计算的，应当忽略。例如，(a+b)*c中虽然有一个加号，但却是在括号里的，实际上比它优先级高的乘号才是最后计算的。由于加减和乘除号都是左结合的，最后一个运算符才是最后计算的，所以用两个变量c1和c2分别记录“最右”出现的加减号和乘除号。

再接下来的代码就不难理解了：如果括号外有加减号，它们肯定最后计算；但如果没有加减号，就需要考虑乘除号（if(c1<0) c1 = c2）；如果全都没有，说明整个表达式外面被一对括号括起来，把它去掉后递归调用。这样，就找到了最后计算的运算符s[c1]，它的左子树是区间[x, c1]，右子树是区间[c1+1, y]。

提示11-1：建立表达式树的一种方法是每次找到最后计算的运算符，然后递归建树。“最后计算”的运算符是在括号外的、优先级最低的运算符。如果有多个，根据结合性来选择：左结合的（如加、减、乘、除）选最右边；右结合的（如乘方）选最左边。根据规定，优先级相同的运算符的结合性总是相同。

例题11-1　公共表达式消除（Common Subexpression Elimination, ACM/ICPC NWERC 2009, UVa12219）

可以用表达式树来表示一个表达式。在本题中，运算符均为二元的，且运算符和运算数均用1～4个小写字母表示。例如，a(b(f(a,a),b(f(a,a),f)),f(b(f(a,a),b(f(a,a),f)),f))可以表示为图11-3（a）中形式。

用消除公共表达式的方法可以减少表达式树上的结点，得到一个图，如图11-3（b）所示。左图有21个点，而右图只有7个点。其表示方法为a(b(f(a,4),b(3,f)),f(2,6))，其中各个结点按照出现顺序编号为1，2，3，…，即编号k表示目前为止写下的第k个结点。

（a）	（b）

图11-3　公共表达式消除

输入一个长度不超过50000的表达式，输出一个等价的，结点最少的图。

【分析】

算法的第一步是构造表达式树。接下来应该怎么做呢？是否可以用两两比较的方法去掉重复？比较两棵树的时间复杂度为O(n)（因为要递归比较二者的所有后代），再加上二重循环枚举两棵子树，总时间复杂度高达O(n³)，无法承受。此处不仅需要更快地比较两棵树，还需要更快地查找一棵树是否存在过。

图11-4　子树缟写

借用第5章“集合栈计算机”的思路，用一个map把子树映射成编号1, 2,…。这样一来，子树就可以用根的名字（字符串）和左右子结点编号表示。如图11-4所示，用(a,0,0)表示根的名字为a，且左右子结点均为空（0表示不存在）的子树，即叶子a。可以看到，下面所有叶子a的编号都是4。再例如，(b,3,6)就是根的名字为b，左右两个子树的编号分别为3,6。可以看到，这样的子树编号均为5。

这样，每次判断一棵子树是否出现过只需要在map中查找，总时间复杂度为O(nlogn)。