12.3　小结与习题

至此，本书内容已经全部讲完。仔细看完本章的读者想必已经掌握了《算法竞赛入门经典》和《算法竞赛入门经典——训练指南》中最精髓的部分，在理论和实践上都相当有经验了。按照惯例，下面是例题列表，如表12-10所示。

表12-10　例题列表

由于篇幅限制，上述内容无法全部详细地介绍给读者。请读者以“可持久化数据结构”、“后缀自动机”、“动态树”等关键字在网上搜索，能获得很多详细、实用的资料，包括讲解、代码和更多精彩例题。另外要强烈推荐的是MIT的6.851课程：高级数据结构(Advanced Data Structures)，2012年的课程主页是：http://courses.csail.mit.edu/6.851/spring12/。

然而，知识是永无止境的，高水平的竞赛中还有许多本书以《训练指南》中没有涉及的知识、技巧和题型。表12-11中将列举新知识点以及相关题目，以供参加高水平竞赛的选手查漏补缺。

表12-11　新知识及相关题目

下面的习题不一定可以用来练习本章中介绍的各种知识点和技巧，也不一定有很高的难度。在这里把它们翻译出来，只是因为笔者比较喜欢这些题目，希望能与读者分享。

习题12-1　自编SketchUp(My SketchUp, Rujia Liu's Present 4, UVa12306)

Google SketchUp是一个很棒的软件，可以用来创建、修改和分享3D模型。在本题中，你需要编写它的一个2D简化版，即My SketchUp。

My SketchUp的使用非常直观。例如，画两条交叉线段后，两条线段会被自动截断成4条，因此在图12-75(a)中单击小圆点后只会选中一条线段(粗线部分)，删除后如图12-75(b)所示。此时单击图12-75(b)中的小圆点，会选中另一条线段。把该线段删除后剩下的两条线段会自动合并成一条线段，如图12-75(c)所示。另外，在任何时候，重复的线段都会合并成一条。

(a)	(b)	(c)

图12-75　自动分裂和合并线段

换句话说，对于一个图形来说，它的“长相”决定了它的实际结构，与“这个图形是如何画出来的”无关。一个图形看上去是什么样的实际就是什么样的。例如图12-76包含14个顶点和15条线段。

图12-76　图形示例

输入是n≤100条DRAW和REMOVE语句，输出是图形中的各个点的坐标和各条线段两端的点编号，按照字典序排列。DRAW的参数一条折线(最多包含20个点)，而REMOVE语句有3个参数x y d，功能是删除离(x,y)的距离不超过d的所有线段。

评注：这是一道很考验编程能力的题目，稍不注意就会让程序变得很复杂而且非常容易出错。

习题12-2　平铺(Tiling, ACM/ICPC Jakarta 2012, UVa1686)

输入6个整数DX1，DY1，DX2，DY2，DX3，DY3，……(绝对值均不超过10000)，所有可以写成(iDX1+jDX2+kDX3, iDY1+jDY2+kDY3)的位置都有一个点，如图12-77所示。

图12-77(a)是一个周期，图12-77(b)是铺贴方法。你的任务是求最小周期。

(a)	(b)

图12-77　平铺问题示意图

评注：本题的结论就是一个简单公式，但是得到这个公式却不容易。

习题12-3　切片树(Slicing Tree, ACM/ICPC Daejeon 2012, UVa1687)

有n(1≤n≤1000)个矩形的长宽值和一棵切片树，要求把矩形按照切片树的规则摆放，使得最小包围盒面积最小。如图12-78所示，切片树是一棵二叉树，每个叶子代表一个矩形，每个内结点是H或者V，表示左子树中所有矩形位于右子树中所有矩形的下方/左方。注意：矩形可以横放也可以竖放。

图12-78中是一棵切片树和符合该树的两种摆放方法。

图12-78　切片树和两种摆放方法

习题12-4　虫洞(Wormhole, ACM/ICPC NWERC 2009, UVa12227)

科幻小说里常提到虫洞。所谓虫洞，就是一个可以把你传送到遥远地方的东西。更神奇的是，虫洞还能带你到过去或者未来。

在本题中，假定空间里有n(0≤n≤50)个虫洞，你的任务是在时刻0从起点出发，借助这些虫洞在最早的时刻到达终点。每个虫洞用入口坐标(xs, ys, zs)、出口坐标(xe, ye, ze)、创建时间t和时间偏移d来描述(|t|,|d|≤10⁶)。当你在t时刻或更晚时刻到达入口时，将会转移到出口，并且当前时刻加上d(当d为负时，相当于时光倒流)。坐标均为绝对值不超过10000的整数，且所有点都不相同。

提示：本题并不是特别难，但很有启发意义。

习题12-5　屋顶(Roof, Seoul 2005, UVa1688)

给一个边平行于坐标轴的多边形P，所有边同时向内以相同速度收缩，并且以这个速度向上(+Z)移动，最终得到一个屋顶，如图12-79所示。求屋顶的高度。

（a）	（b）	（c）

图12-79　屋顶

提示：方法不止一种，且复杂程度差异较大。

习题12-6　国际活动(International Event, ACM/ICPC Daejeon 2013, UVa1689)

有一个盛大的国际活动，一年举办一届。在活动现场，有N(2≤N≤100000)个旗杆排成一行，每个旗杆上都有一面国旗迎风飘扬。

每个旗杆用3个数l_i, a_i, b_i表示，即旗杆的坐标为l_i，去年挂着国家a_i的国旗，今年需要换成国家b_i的国旗。你有一个机器人，初始位置为A，要求为机器人设计一条路线，把所有旗杆上的国旗换成今年的，且移动总距离最小。

国家编号为1～M(1≤M≤1000)，且每个国家的国旗至少挂在一个旗杆上，并且去年和今年的旗杆数不变(即对于任意1≤c≤M，满足a_i＝c的i的个数等于满足b_j＝c的j的个数)。假设机器人的手很大，可以捧着任意多面国旗。如图12-80所示，每个旗杆用两个数(a_i,b_i)表示，箭头表示了最优路径：4-5-1-7-4。

图12-80　旗杆及最优路径

习题12-7　拿行李(极限版)(Collecting Luggage EXTREME, UVa11425)

有一个n(n≤100)边形传送带，上面有你的行李。已知你和行李的初始位置、传送带移动的速率和你行走的最大速度，求拿到行李的最短时间。

评注：本题是ACM/ICPC 2007世界总决赛中一道难题的加强版。原题规定人的速度大于传送带移动的速度，因此可以二分。原题的详细分析参见《算法竞赛入门经典——训练指南》。

习题12-8　加速器(Accelerator, ACM/ICPC Daejeon 2011, UVa1570)

图12-81　“加速器”问题示意图

圆周上等距排列着n个点，其中有a个红点(用圆形表示)和b个蓝点(用方形表示)，要求每个红点配一个蓝点，每个蓝点最多配一个红点，使得连线的总长度最小。两个匹配点的连线长度等于二者的劣弧长度。例如图12-81中的最优解为：位置1，3，9的红点分别匹配位置5，4，10，连线长度为6。所有红蓝点位置均不同。1≤n≤10⁶，1≤a≤b≤10⁶，2≤a+b≤n。

习题12-9　寻找缩图(Find a Minor, Beijing 2007, UVa1690)

对于无向图G，缩边e的操作是这样的：假定e的两个端点为u和v，用一个新结点来代替边e，然后把原先关联到u或者v的边(除了e之外)改成关联到这个新点。执行一次缩边操作后，新图比原图少一条边(注意，新图可以有重边)。如果图H可以由图G经过一次或多次删边、缩边和删除孤立点操作后得到，则称H是G的缩图。

缩图在图论中扮演着重要角色。例如，一个无向平面图要么有缩图K_3,3(两边各3个结点的完全二分图)，要么有缩图K₅(5个结点的完全图)。

给一个包含V(3≤V≤12)个结点的简单无向图G，你的任务是判断它是否含有某个形如K_n,m或K_n(1≤n,m≤V)的给定缩图。

习题12-10　赌博(Hey, Better Bettor, ACM/ICPC World Finals 2013, UVa1573)

你在赌场上玩一个游戏，每次的赌注是1美元，赢了会得到2美元，输了什么也得不到。赌场有一个优惠：在任何时候，赌场可以补偿x%的损失。使用优惠之后你可以继续玩，也可以退出赌场。退出赌场之前最多只能使用一次这样的优惠。

例如，x＝20，你玩了10次，赢了3次，总共损失10-3*2＝4元，使用优惠后损失3.2元。但如果你赢了6次，总共获利6*2-10＝2元。

假定每局比赛获胜概率为p％，输入x, p(0≤x<100，0≤p<50)，输出最优策略下最大的期望获利。

提示：本题和“伟大的游戏”一题有些相像，但也有区别。

习题12-11　完全平方子集(Hip To Be Square, ACM/ICPC NWERC 2012, UVa1691)

6，10，15均不是完全平方数，但是它们的乘积900是完全平方数。输入两个整数a，b (1<a<b≤4900)，找{a,a+1,…,b}的一个非空子集，其所有元素的乘积为完全平方数k²，要求k尽量小。输入保证答案小于2⁶³。无解输出none。例如，20 30的解为5，101 110的解为none, 2337 2392的解为3580746020392020480。

提示：本题的方法并不优美，所以请使出浑身解数吧。

习题12-12　米诺陶洛斯的迷宫(Labyrinth of the Minotaur, ACM/ICPC NEERC 2012, UVa1692)

输入一个宽为w、高为h(2≤w,h≤1500)的矩形迷宫，左上角(1,1)是出口，右下角(w,h)是怪兽。放一个尽量小的正方形障碍(不能放在入口或者怪兽上)使得怪兽无法从出口出去。初始时保证怪兽和出口之间有通路。多解输出任意解，无解输出impossible。如图12-82所示，矩形是一个最优解，边长为2。

图12-82　最优解

提示：“太空站之谜”的题解看了吗？如果还没有，现在就看看吧。

习题12-13　XAR(XAR, ACM/ICPC Beijing 2006, UVa1693)

机器XAR08有n个(n≤128)8位寄存器，可以存储8位无符号整数，支持4种操作(每个操作都同时作用于所有寄存器)：

• X n (0≤n<256)，即V ＝ V xor n。
• A n (0≤n<256)，即V ＝ (V+n) mod 256，
• R n (0≤n<8)，循环左移n位，等价于C语言的V ＝ (((V>>(8-n))|(V<<n))&0xFF)。
• E n (0≤n<256)，忽略n，程序终止。

给出n个寄存器的初始状态d_i(0≤d_i<128且各不相同)，设计不超过40000条指令，使得执行后各寄存器的值分别为0,1,…,n-1。

习题12-14　收购游戏(Takeover Wars, ACM/ICPC World Finals 2012, UVa1290)

T公司有n(1≤n≤10⁵)个子公司，B公司有m(1≤m≤10⁵)个子公司。每个子公司有一个市场价值，均为不超过10¹²的正整数。

每次可以合并两个公司。合并同一个公司的两个子公司没有限制。合并之后市场价值等于合并前的两个公司之和。

每个公司都可以用己方的一个子公司A吃掉对方的一个子公司B，条件是A的市场价值严格大于B的市场价值。被吃掉的子公司B消失，而子公司A的市场价值不变。为了简单起见，假定任意操作序列都不会产生两个母公司且市场价值相同的子公司。

两个公司轮流操作，T公司先。如果无法操作，则再次轮到对手操作。你的任务是判断谁赢。

习题12-15　历史课(History course, ACM/ICPC CERC 2013, UVa1694)

给定n(1≤n≤50000)个历史事件，各用一个区间[a_i,b_i]表示，即事件的开始时刻和结束时刻。如果两个历史事件的区间有公共点，说明两个历史事件是相关的。我们需要给学生讲这些历史事件，其中每堂课讲一个事件。我们希望相关历史事件在排课时尽量排在一起，即要找一个最小的k，使得相关历史事件的课堂编号之差不超过k。另外，不相关的历史事件必须按顺序讲，即如果有两个不相关事件i和j，i在j之前发生，则i的课也必须排在j之前。要求输出任意解。

习题12-16　Quall[e]? Quale?(Quall[e]? Quale?, Rujia Liu's Present 6, UVa12570)

有n道题，每道题的标题有多语言版(一共有m种语言)。已知每道题的每种语言的版本以什么字母开头，要求前n个字母的题目各一道。问：实际用到的语言集合有哪几种可能？例如，有5道题，3种语言。每道题目的每种语言版开头字母如图12-83所示。

图12-83　题目不同语言版本的开头字母

一个合法解如图12-84所示。

图12-84　合理解法之一

实际用到的语言是{English, French, Chinese}，3≤n≤26，1≤m≤5。

评注：本题可以用《训练指南》中介绍的DLX算法解决，也有实际效率更高的方法。

习题12-17　单后对单车(Queen vs Rook, UVa10383)

你的任务是解决国际象棋里的著名残局“单后对单车”。输入4个棋子的位置和下一个移动的棋子颜色。要求在第一行输出获胜方及获胜的最少步数，第二行输出下一次移动方的最优策略(若是必胜方，应输出获胜最快的策略；若是必败方，应输出失败最慢的策略；若是平局，输出导致平局的策略)。本题不允许后和车易位。

输入最多有1000组数据，保证任何两个棋子不会位于同一个格子里，并且后和车的颜色保证不同。不该移动的一方不会“已经被将死”，但是该移动的一方有可能“已经被将死”。输出中用X表示吃子，“+”表示将军，“#”表示将死。

评注：本题容易超时，需要优化，且有些优化本身的代码量比较大。

习题12-18　谱曲(Melod[y] "Creation", Rujia Liu's Present 6, UVa12566)

可以用字符串来表示一个简谱，其中小节线为“|”，s1＝s2表示一个转调，即该音符在转调前是s1，转调后是s2。例如，下面的简谱是一个“诡异版”的生日歌：

5 5 6 5 1＝4 3 | 1 1 2 1 5 4 | 1＝5 5 5 3 1 7＝3 2 | b7 b7 6 4 5＝2 1 ||

输入一个简谱，要求将它改写，使得升降号不超过k个，在此前提下转调的次数最少。多解时，输出字典序最小的解。要求音符数不超过100。音乐知识和题目背景请参考原题。

习题12-19　大逃亡(Escape, ACM/ICPC CERC 2013, UVa1695)

有一棵n(1≤n≤200000)个结点的树，初始时你在结点1，生命值HP＝0，目标是从结点t的出口逃出来。每个结点有一个怪兽或者一个鸡腿。当第一次到达一个结点时，你的HP会发生变化：打怪之后HP减少，吃鸡腿之后HP增加，改变量等于结点权值的绝对值，负数表示怪兽，正数表示鸡腿，0表示什么都没有。注意，如果终点t内有怪兽，必须先打怪兽然后才能逃出。问是否能成功逃出。

习题12-20　蜘蛛旅行家(Travelling Spider, ACM/ICPC Daejeon 2011, UVa1696)

把一个魔方的每个面分成n*n(2≤n≤50)的正方形，如图12-85所示(n＝4)。不难发现，每个正方形恰好有4个相邻正方形。

图12-85　n*n正方形

在两个正方形的中心点分别放一只公蜘蛛和一只母蜘蛛，求一条路径，从公蜘蛛出发，经过所有正方形的中点恰好一次后到达母蜘蛛。换句话说，包括起点和终点，求出的路径应恰好包含6n²个互不相同的正方形，且路径上相邻的两个正方形在魔方上也相邻。

无解输出-1，多解输出任意解。

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(1) 下面的方法称TCA (Thompson's Construction Algorithm)。

(2) 见A. Blumer等人于1985 年写的经典论文：《The Smallest Automaton Recognizing the Subwords of a Text》。

(3) 出于时间和空间上的考虑，在竞赛中我们往往不是给每条重路径建一棵线段树，而是用一棵全局线段树保存所有树链，限于篇幅，这里不再详细介绍。

(4) 原始论文：http://www.cs.cmu.edu/～sleator/papers/self-adjusting.pdf。这里介绍的版本和原始论文有差异，在实践中更为常用。

(5) 原论文中不是使用的伸展树，因为Link-Cut树比伸展树更早发明。

(6) http://en.wikipedia.org/wiki/Rope_%28computer_science%29。

(7) 它的正式名称为多边形偏移（offseting）。

(8) 《训练指南》中的“图询问”问题也用到了这个技巧。

(9) 仔细分析后可以发现：因为流量可以复用，所以其实复杂度连O（n）都不需要乘。不过对于本题的规模，这个优化不是必需的。

(10) 本题还有一个有意思的结论：最小费用对应的f一定是有理数，且分母不超过n（即滴水嘴的数量）。这个结论并不容易证明，有兴趣的读者可以一试。

(11) 事实上，还可以证明一个更强的结论：如果不考虑“K₂不能有前导0”这个条件，K₂是唯一存在的。

(12) 官方数据中的最大答案为1685.830。

(13) 大圆（Great Circle）是球面上半径等于球体半径的圆弧。连接两点的最短“球面线段”等于经过两点的大圆上的劣弧。

(14) 比赛中唯一通过此题的Anton Lunyov就是采用的这种方法。

(15) A Strange Opera House II, Rujia Liu's Present 4, UVa12309

(16) 题目来源：NOI2000，命题人：李申杰。UVa中的数据经过加强，难度大大高于NOI中的测试数据。

(17) 习惯上用A[x…y]表示子序列A[x]，A[x+1]，…，A[y]，后同。

(18) 为了方便，还可以保存光标在每个级别的编辑框的元素指针。

(19) 它可以把代码压缩到5～6KB。而传统的OOP写法往往需要8～10KB。

(20) 这些批评也是有道理的。事实上，很多ACM/ICPC选手因为过于习惯编写独立、简短的代码，在工作初期会不适应大型软件的协作开发。

(21) 在软件工程领域，不同的遗留代码情况、团队情况以及软件的预计规模、需求变化情况等，都会影响到程序架构和设计决策。

(22) 相信看过《算法艺术与信息学竞赛》的读者对这个题目不陌生。

(23) 这是一个很特别的程序设计语言，看过《黑客与画家》的读者相信对它并不陌生。这个语言有不少吸引人的地方，但它的复杂程度却是大大超过普通人的预期。对此，笔者在实际项目的开发中已略有体会。有兴趣的读者可阅读《ANSI Common Lisp》入门，然后在《On Lisp》和《Practical Common Lisp》等经典著作中找到更多信息。

(24) 当然可以用STL 的string 来表示字符串。但是因为本题的字符串大都非常短，所以使用STL字符串带来的效率损失是比较明显的。

(25) intVal、strVal 等成员可以写成联合(union)的形式以节省空间，不过和本题的核心关系不大，这里就不叙述了。

(26) 这个设计也许会让scala 程序员会心一笑。另外，熟悉STL的读者也许会更倾向于复用STL中的functor。

(27) 题目来源：NOI冬令营2002。命题人：刘汝佳。

(28) http://olympiads.win.tue.nl/ioi/ioi99/contest/official/under.html。

(29)  http://en.wikipedia.org/wiki/Maze_solving_algorithm#Wall_follower。

(30) 对于原题的10组官方数据，优化前的最坏情况需要走20000步左右，优化后只需不到2000步。